Problema del Teorema Fundamental del Cálculo

Question

Problema del Teorema Fundamental del Cálculo

señor vida real

No entiendo la intuición detrás de esto. ¿Por qué podemos conectarnos? $x$ para $t$ aquí y que nos da el resultado? Pensé que estaba entendiendo el Teorema Fundamental del Cálculo, pero no veo cómo se aplica aquí. Pensé que el teorema decía principalmente que el área bajo una función se puede encontrar tomando el valor de la derivada anti sobre el intervalo especificado. No tiene sentido para mí por qué nos conectamos $x$ y listo, esa es nuestra respuesta.

\frac{d}{d X} \int_{a}^{X} (t^{3} + 1) d t = X^{3} + 1

$\frac {d}{dx} \int_{a}^{x} (t^3 + 1) \ dt = x^3 + 1$

frenesí li

Si

F (x)

$F(x)$ es la función antiderivada de

f (x) = t^{3} + 1

$f(x)=t^3+1$ , entonces

\int_{a}^{x} t^{3} + 1 d t = F (x) - F (a)

$\int_a^x t^3+1dt=F(x)-F(a)$ . Entonces el LHS se convierte en

\frac{d y}{d x} F (x)

$\frac{dy}{dx}F(x)$ cual es

x^{3} + 1

$x^3+1$ .

Tinta

Evalúe esa integral y tome la derivada con respecto a

x

$x$ .

Respuestas (2)

Problema del Teorema Fundamental del Cálculo

Si $F(x)$ es la función antiderivada de $f(x)=t^3+1$ , entonces $\int_a^x t^3+1dt=F(x)-F(a)$ . Entonces el LHS se convierte en $\frac{dy}{dx}F(x)$ cual es $x^3+1$ .
Evalúe esa integral y tome la derivada con respecto a $x$ .

donantonio · Answer 1

Dado que la función $\,t^3+1\,$ es continua (y derivable) en todas partes, tiene una función primitiva $\,G(t)\,$ en cualquier intervalo finito. Usando la FTC, escriba

\int_{a}^{X} (t^{3} + 1) d t = GRAMO (X) - GRAMO (a) ⟹ \frac{d}{d X} (\int_{a}^{X} (t^{3} + 1) d t) = \frac{d}{d X} (GRAMO (X) - GRAMO (a)) = {GRAMO}^{'} (X) = X^{3} + 1

$\int_a^x(t^3+1)dt=G(x)-G(a)\\\Longrightarrow \frac{d}{dx}{\left(\int_a^x(t^3+1)dt\right)}=\frac{d}{dx}{(G(x)-G(a))}=G'(x)=x^3+1$

Entonces, ¿simplemente nos deshacemos de G(a) porque estamos diferenciando con respecto a x?
@ordinary La integral tiene un límite inferior fijo $a$ y un límite superior cambiante $x$ . $G(a)$ es por lo tanto constante, y diferenciarla produciría $0$ .
Por más nuevo que sea, debe saber que cualquier cosa diferente de la variable wrt que derivamos debe considerarse una constante.
@FrenzY DT Ah, gracias por agregar eso, tiene mucho sentido.

pedro · Answer 2

El Teorema Fundamental del Cálculo no habla de resultados geométricos, sino de la relación "fundamental" entre la operación de integración y la de diferenciación. Es decir, dice lo siguiente:

TEOREMA . Dejar $f$ ser un continuo sobre $[a,b]$ . Definir $F$ en $[a,b]$ por

$F (X) = \int_{a}^{X} F (t) d t$ $F(x)=\int_a^x f(t) dt$

Entonces $F$ es diferenciable y $F'(x)=f(x)$ .

el corolario es

COROLARIO Dejar $f$ ser continuo sobre $[a,b]$ y $f=g'$ para algunos $g$ .

Entonces

$\int_{a}^{b} F (t) d t = gramo (b) - gramo (a)$ $\int_a^b f(t)dt=g(b)-g(a)$

Tenga en cuenta que podemos encontrar esto invertido en los libros (uno es el teorema y el otro el corolario, o uno se llama FTC 1 y el otro FTC 2). Te recomiendo leer estas dos preguntas que algunos usuarios ya hicieron sobre FTC:

Problema del Teorema Fundamental del Cálculo

señor vida real

frenesí li

Tinta

Respuestas (2)

donantonio

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donantonio

donantonio

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frenesí li

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señor vida real

pedro

izq.

pedro

¿Cuál es la aparente contradicción en esta integral?

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Integral doble con r⃗ r→\vec{r} y r⃗ −r⃗ ′r→−r→′\vec{r}-\vec{r}' como variables independientes

Integra ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

Evalúa ∫11−sin4x√dx∫11−sin4⁡xdx\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx