¿Cómo resuelvo la siguiente integral definida usando integración por partes?

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¿Cómo resuelvo la siguiente integral definida usando integración por partes?

cálculo
integración
Matemáticas
análisis real
integrales definidas

williantafsilva

¿Cómo resuelvo la siguiente integral ( $C_1$ y $C_2$ son constantes)?

I = \int_{a}^{b} {mi}^{X \cdot (C_{1} - C_{2})} \cdot gramo (X) d X

$I=\int_a^b e^{x\cdot(C_1-C_2)} \cdot g(x) dx$

Pregunta 1: Traté de resolverlo usando la integración por partes con la regla del producto $\left(\int f(x)\cdot g(x) dx=f(x)\cdot \int g(x)dx-\int \frac{d}{dx}f(x)\cdot (\int g(x) dx) dx\right)$ y encontré cero como mi resultado, pero eso es incorrecto porque mis dos funciones ( $e^{x\cdot(C_1-C_2)}$ y $g(x)$ ) tienen valores positivos dentro del intervalo especificado. ¿Cuál es la fórmula equivalente para la integración definida? ¿Es correcta la siguiente fórmula?

\int_{a}^{b} F (X) \cdot gramo (X) d X = (F (b) - F (a)) \cdot \int_{a}^{b} gramo (X) d X - \int_{a}^{b} \frac{d}{d X} F (X) \cdot (\int_{a}^{b} gramo (X) d X) d X

$\int_a^b f(x)\cdot g(x) dx=(f(b)-f(a))\cdot \int_a^b g(x)dx-\int_a^b \frac{d}{dx}f(x)\cdot (\int_a^b g(x) dx) dx$

Pregunta 2: En el caso de integración definida, ¿puedo tratar la integral interna como una constante y sacarla de la integral principal? En ese caso, tendríamos

\int_{a}^{b} \frac{d}{d X} F (X) \cdot (\int_{a}^{b} gramo (X) d X) d X = (\int_{a}^{b} gramo (X) d X) \cdot \int_{a}^{b} \frac{d}{d X} F (X) d X

$\int_a^b \frac{d}{dx}f(x)\cdot \left(\int_a^b g(x) dx\right) dx=\left(\int_a^b g(x) dx\right)\cdot\int_a^b \frac{d}{dx}f(x) dx$

Pregunta 3: ¿Existe alguna diferencia funcional entre estas dos integrales ( $I_A$ y $I_B$ ) (la variable de integración en la integral interna se denota con letras diferentes)?

I_{A} = \int_{a}^{b} \frac{d}{d X} F (X) \cdot (\int_{a}^{b} gramo (X) d X) d X

$I_A=\int_a^b \frac{d}{dx}f(x)\cdot \left(\int_a^b g(x) dx\right) dx$

I_{B} = \int_{a}^{b} \frac{d}{d X} F (X) \cdot (\int_{a}^{b} gramo (s) d s) d X

$I_B=\int_a^b \frac{d}{dx}f(x)\cdot \left(\int_a^b g(s) ds\right) dx$

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Respuestas (2)

¿Cómo resuelvo la siguiente integral definida usando integración por partes?

ultraleyenda5385 · Answer 1

La respuesta a 1 y 2 es la misma: la fórmula que ha utilizado es incorrecta. La fórmula correcta es

\int_{a}^{b} tu v d X = {[tu \int v d X]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} ({tu}^{'} \cdot \int v d X) d X

$\int_a^b uv\,\textrm{d}x=\left[u\int v\,\textrm dx\right]_a^b - \int_a^b \Big(u'\cdot\int v\,\textrm dx\Big)\,\textrm dx$ (

u

$u$ y

v

$v$ referirse a las funciones de

x

$x$ )

De hecho, esto tendrá sentido si piensas en el Teorema Fundamental del Cálculo.

La respuesta a la 3 es sí. Debido a que la integral solo depende del valor de la antiderivada en los dos extremos, el nombre de la variable no importa. (Se llama variable ficticia). Entonces, si ve una integral como la que mencionó en 2 (aunque no es válida aquí), puede tratarla como una constante.

Espero que esto ayude. Pregunte cualquier cosa si no está claro :)

¡Gracias por la explicación! Para que quede claro, en tu explicación incluyeste una integral indefinida dentro de la integral definida. ¿Es eso correcto o se supone que también es una integral definida? Lo pregunto porque si se supone que es una integral definida en [a,b], entonces se puede usar la regla que escribí en la pregunta 2, ¿verdad? Una segunda pregunta: ¿puedes mostrarme por qué? ${[tu \int v d X]}_{a}^{b} \neq tu |_{a}^{b} \int_{a}^{b} v d X$ $\left[u\int v dx\right]_a^b \ne u|_a^b \int_a^b v dx$ ?
solo toma un ejemplo simple $u=x, v=1$ encontrarás eso ${[tu \int v d X]}_{a}^{b} = b^{2} - a^{2}$ $\left[u\int vdx\right]_a^b = b^2 - a^2$ y $tu |_{a}^{b} \int_{a}^{b} v d X = (b - a)^{2}$ $u|_a^b\int_a^b vdx = (b-a)^2$
@williantafsilva: No, es una integral indefinida por dentro. Por qué el resultado que declaraste no es cierto, puedes pensarlo usando el Teorema Fundamental del Cálculo. $\int_{a}^{b} F (X) d X = F (b) - F (a)$ $\int_a^bf(x)\,\textrm dx=F(b)-F(a)$ ( $F$ es antiderivada de $f$ ). Si tu dejas $f(x)=uv$ y pongo la antiderivada $F$ (por regular por partes) entonces observará que los límites solo se pondrán fuera de las dos partes en la fórmula.

Abdul Haki · Answer 2

El principal error que está cometiendo aquí es el hecho de que no integra la función $g()$ antes de usarlo.

De hecho, deberías tener

\int_{a}^{b} F (X) . gramo (X) d X = {[F (X) . GRAMO (X)]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} F^{'} (X) . GRAMO (X) d X,

$\int_{a}^b f(x).g(x)dx = \left[f(x).G(x)\right]_{a}^b - \int_{a}^b f'(x).G(x)dx\,,$ donde suponemos

G (x) = \int_{c}^{x} g (s) d s

$G(x)=\int_{c}^x g(s)ds$ y

G (c) = 0

$G(c)=0$ .

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