Integral de exponencial dentro de una región

Question

Integral de exponencial dentro de una región

cálculo
integración
Matemáticas
análisis real
integrales definidas
integrales impropias

Euler_Salter

¿Existen métodos para calcular la siguiente integral para $a \leq b$ ? Aquí $x\in\mathbb{R}$

\int_{a \leq - \frac{X^{2}}{2} \leq b} \frac{1}{\sqrt{2 π}} {mi}^{- \frac{X^{2}}{2}} d X

$\int\limits_{a \leq -\frac{x^2}{2} \leq b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx$

Sustitución

La función de error es

erf (z) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{z} {mi}^{- t^{2}} d t

$\text{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^z e^{-t^2} dt$ Usando la sustitución

t^{2} = \frac{x^{2}}{2}

$t^2=\frac{x^2}{2}$ tenemos

2 d t = d x

$2dt = dx$ y

\sqrt{- b} \leq t \leq \sqrt{- a}

$\sqrt{-b}\leq t \leq \sqrt{-a}$

\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{\sqrt{- b}}^{\sqrt{- a}} {mi}^{- t^{2}} d t = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot [\frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\sqrt{- a}} {mi}^{- t^{2}} d t + \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{\sqrt{- b}}^{0} {mi}^{- t^{2}} d t]

$\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{\sqrt{-b}}^{\sqrt{-a}} e^{-t^2}dt = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\sqrt{-a}} e^{-t^2}dt + \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int^0_{\sqrt{-b}} e^{-t^2} dt\right]$ Usando la definición de función de error y sustituyendo

t^{'} = - t

$t' = -t$

\frac{1}{\sqrt{2}} [erf (\sqrt{- a}) - \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{- \sqrt{- b}} {mi}^{- t^{2}} d t] = \frac{1}{\sqrt{2}} [erf (\sqrt{- a}) - erf (- \sqrt{- b})]

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\text{erf}(\sqrt{-a}) - \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{-\sqrt{-b}} e^{-t^2} dt\right] = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\text{erf}(\sqrt{-a}) - \text{erf}(-\sqrt{-b})\right]$

PNDas

Tomando

x^{2} / 2 = t

$x^2/2=t$ ?

PNDas

Yo estaba diciendo esto: Tomando

x^{2} / 2 = t ⟹ x = \sqrt{2 t}

$x^2/2=t\implies x=\sqrt{2t}$ . Entonces tenemos la integral original =

\int_{- b}^{- a} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{e^{- t}}{\sqrt{2 t}} d t

$\int_{-b}^{-a}\frac1{\sqrt{2\pi}}\frac{e^{-t}}{\sqrt{2t}}dt$ . Pero no sé desde aquí a dónde ir. Puedes hacer lo que hizo Abdoul.

PNDas

En referencia a mi último comentario, puedes escribir la integral como una diferencia de dos funciones gamma incompletas.

GEdgar

\erf (\sqrt{- a}) - \erf (\sqrt{- b})

$\operatorname{erf}(\sqrt{-a})-\operatorname{erf}(\sqrt{-b})$

Steven Stadnicki

Los límites de su integral (

- x^{2} / 2

$-x^2/2$ entre

a

$a$ y

b

$b$ , en vez de

x

$x$ ) parecen un poco artificiales; ¿de dónde vienen?

Respuestas (3)

Integral de exponencial dentro de una región

Yo estaba diciendo esto: Tomando $x^2/2=t\implies x=\sqrt{2t}$ . Entonces tenemos la integral original = $\int_{-b}^{-a}\frac1{\sqrt{2\pi}}\frac{e^{-t}}{\sqrt{2t}}dt$ . Pero no sé desde aquí a dónde ir. Puedes hacer lo que hizo Abdoul.
En referencia a mi último comentario, puedes escribir la integral como una diferencia de dos funciones gamma incompletas.
$\operatorname{erf}(\sqrt{-a})-\operatorname{erf}(\sqrt{-b})$
Los límites de su integral ( $-x^2/2$ entre $a$ y $b$ , en vez de $x$ ) parecen un poco artificiales; ¿de dónde vienen?

Abdul Haki · Answer 1

No se puede calcular directamente. Pero puede usar la distribución normal en otros para tener una estimación muy precisa. De hecho, al suponer que $b\leq0$ , la región $a\leq -\frac{x^2}{2}\leq b$ es lo mismo que $\{\sqrt{-2b}\leq x\leq \sqrt{-2a}\}\cup\{-\sqrt{-2a}\leq x\leq -\sqrt{-2b}\}$ .

Entonces, $\begin{align*} \int_{a\leq -\frac{x^2}{2}\leq b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx &= \int_{\sqrt{-2b}}^{\sqrt{-2a}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx + \int_{-\sqrt{-2a}}^{-\sqrt{-2b}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\ &= \left[\Phi(\sqrt{-2a}) - \Phi(\sqrt{-2b})\right] + \left[\Phi(-\sqrt{-2b}) - \Phi(-\sqrt{-2a})\right]\\ &= 2\left[1+\Phi(\sqrt{-2a}) - \Phi(\sqrt{-2b})\right] \end{align*}$

dónde $\Phi(.)$ es la función de distribución acumulada normal.

En la segunda igualdad si sustituyo $x’=-x$ no conseguimos $0$ como se cancelan las integrales?
$\Phi(-x) = 1-\Phi(x)$ no $\Phi(-x) = \Phi(x)$ . Así que no podemos simplemente sustituir x por -x. Pero si estás hablando de la primera igualdad, no, tendrás como $2$ veces algo.

GEdgar · Answer 2

Nosotros podemos usar $\operatorname{erf}$ en lugar de $\Phi$ . Por definición,

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d X} \erf (X) = \frac{2}{\sqrt{π}} {mi}^{- X^{2}} \end{matrix}

$\frac{d}{dx}\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2} \tag1$ Ahora comienza con

V = \int_{a \leq - \frac{X^{2}}{2} \leq b} \frac{1}{\sqrt{2 π}} {mi}^{- \frac{X^{2}}{2}} d X

$V = \int\limits_{a \leq -\frac{x^2}{2} \leq b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx$ dónde

a < b \leq 0

$a < b \le 0$ .
Dividir en dos partes iguales,

x > 0

$x>0$ y

x < 0

$x<0$ , Llegar

V = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{π}} \int_{\sqrt{- 2 b}}^{\sqrt{- 2 a}} {mi}^{- X^{2} / 2} d X

$V = \frac{\sqrt2}{\sqrt{\pi}}\int_{\sqrt{-2b}}^{\sqrt{-2a}}e^{-x^2/2}dx$ Para hacer coincidir

(1)

$(1)$ sustituto

x = \sqrt{2} y

$x=\sqrt{2}\,y$ ,

d x = \sqrt{2} d y

$dx = \sqrt{2}\,dy$ Llegar

V = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \int_{\sqrt{- b}}^{\sqrt{- a}} {mi}^{- y^{2}} d y = \frac{2}{\sqrt{π}} (\frac{\sqrt{π}}{2} \erf (\sqrt{- a}) - \frac{\sqrt{π}}{2} \erf (\sqrt{- b})) = \erf (\sqrt{- a}) - \erf (\sqrt{- b})

$V =\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{\sqrt{-b}}^{\sqrt{-a}} e^{-y^2} dy =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\left( \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(\sqrt{-a})- \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(\sqrt{-b}) \right) =\operatorname{erf}(\sqrt{-a})-\operatorname{erf}(\sqrt{-b})$

plantas · Answer 3

Creo, pero no estoy seguro, que podría resolverse de manera similar a la prueba integral de Gauss. https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral . Primero, consideras la integral al cuadrado, luego consideras la segunda integral que se multiplica con una variable $y$ . Después de eso, haces una transformación a coordenadas polares y luego haces la sustitución como la del enlace.

Me recuerda a la integral de Gauss.

Integral de exponencial dentro de una región

Euler_Salter

Sustitución

PNDas

PNDas

PNDas

GEdgar

Steven Stadnicki

Respuestas (3)

Abdul Haki

Euler_Salter

Abdul Haki

Euler_Salter

Abdul Haki

Euler_Salter

GEdgar

plantas

¿Cómo resuelvo la siguiente integral definida usando integración por partes?

¿Cómo resolver esta integral por partes?

¿Es legítima esta evaluación integral?

Evalúa la integral ∫3π/4π/4x⋅cot(x)⋅csc(x)dx∫π/43π/4x⋅cot⁡(x)⋅csc⁡(x)dx\int_{\pi/4}^{3 \pi/4} x \cdot \cot(x) \cdot \csc(x) \mahop{dx}

¿Cuál es el valor de la siguiente integral definida?

Evaluando esta integral usando la función Gamma

Ayuda a entender lo que nos dice el teorema fundamental del cálculo

Evaluar∫∞1∫1∞\int_{1}^{\infty} 1−(x−[x])x2−σ1−(x−[x])x2−σ\frac{1-(x-[x ])}{x^{2-\sigma}}dx donde [x] denota la mayor función entera y 0<σ<10<σ<10<\sigma<1

Derivando la propiedad de la Función Gamma

Forma cerrada de integral definida de 2006 MIT Integration Bee [cerrado]