¿Por qué Russell estaba descontento con la visión de Wittgenstein sobre la "lógica como tautologías"?

Wittgenstein estaba reviviendo el viejo punto de vista de Kant de que la deducción lógica solo saca a relucir lo que se piensa implícitamente en las premisas. Por supuesto, Kant tenía en mente el término lógica de Aristóteles, que es más o menos equivalente a la lógica de los predicados de un solo lugar ( cálculo de predicados monádicos ) en términos modernos, y Wittgenstein tenía en mente la lógica de las proposiciones (clases) de Boole, que es donde la idea de la lógica como tautológico viene de. Esos dos son equivalentes en fuerza lógica, lo cual es demasiado decir, ambos tienen muy poco.

Ya en el siglo XIX, en gran parte por Peirce y Frege, se descubrió que las generalizaciones sobre la lógica basadas en esos dos ejemplos fallan por completo una vez que se toman en cuenta los predicados (relaciones) de dos lugares, y mucho menos los predicados poliádicos. Ahora sabemos, por ejemplo, que mientras que el cálculo monádico y la lógica proposicional son decidibles (existe un algoritmo basado en tablas de verdad para decidir si una fórmula dada es una tautología), el cálculo poliádico no lo es. Algunas "tautologías" poliádicas quizás nunca las sepamos porque no somos lo suficientemente inteligentes o afortunados para descubrirlas.

Russell enfatizó la importancia de esto ya en sus Principios de Matemáticas, p.32 en 1903:

" El cálculo de relaciones es un tema más moderno que el cálculo de clases. Aunque se pueden encontrar algunos indicios en De Morgan, el tema fue desarrollado por primera vez por CS Peirce. Un análisis cuidadoso del razonamiento matemático muestra (como veremos) encontrar en el curso del presente trabajo) que los tipos de relaciones son el verdadero tema discutido, aunque una mala fraseología pueda ocultar este hecho; por lo tanto, la lógica de las relaciones tiene una relación más inmediata con las matemáticas que la de las clases o las proposiciones, y toda expresión teóricamente correcta y adecuada de las verdades matemáticas sólo es posible por sus medios ” .

El mismo Peirce distinguió dos tipos de razonamiento lógico, a los que llamó corolario y teorético. El primero corresponde al razonamiento "analítico" de Kant y las "tautologías" de Wittgenstein, el segundo al razonamiento no trivial que ya vemos en exhibición en la geometría y la aritmética euclidiana. Hintikka luego elaboró ​​​​mucho más sobre lo que sucede en la lógica no "tautológica", consulte ¿ Cuál es la diferencia entre la información de profundidad y la superficie?

Para decirlo más claramente, si Kant y Wittgenstein tuvieran razón sobre la lógica, entonces todos los teoremas de Euclides, y también el último teorema de Fermat, serían trivialidades "tautológicamente contenidas" en los axiomas de la geometría y la aritmética. A diferencia de Kant, que pensaba que en matemáticas se emplean algunos medios "sintéticos a priori " extralógicos , Wittgenstein era plenamente consciente de que ni siquiera toda la aritmética estará en la oferta de su concepción de la lógica. Pero... a él no le importaba. Friedman explica en Logical Truth and Analyticity en "Logical Syntax of Language" de Carnap :

Por supuesto, el mismo Tractatus es bastante claro sobre el alcance restringido de su concepción de la lógica y las matemáticas en comparación con la concepción de Frege (y Russell). La respuesta de Wittgenstein a esta dificultad también es demasiado clara: tanto peor para las matemáticas clásicas y teoría de conjuntos ”.

Ahora podemos entender por qué Logicomix hace que Russell llame a sus cosas de "todo es una tautología" "bosh metafísico".

Para obtener más información sobre los matices de la concepción temprana de Wittgenstein, consulte Was Wittgenstein anticiping Gödel? (no lo era). Sobre cuán tardíamente Wittgenstein cambió radicalmente sus formas, véase Koshkin, Wittgenstein, Peirce y las paradojas de la demostración matemática . Para obtener más información sobre la visión de la lógica de Peirce que Russell estaba canalizando, consulte Chevalier, la relativización de Peirce de la dicotomía analítica versus sintética . Esto es del propio Peirce, quien de alguna manera estaba anticipando los resultados de indecidibilidad de Gödel:

"Desde Kant, sobre todo, se ha acostumbrado a decir que la deducción sólo suscita lo que se pensaba implícitamente en las premisas; y la famosa distinción entre juicios analíticos y sintéticos se basa en esa noción. Pero la lógica de los relativos muestra que éste no es el caso en ningún otro sentido que no sea el que lo reduce a una forma vacía de palabras. En la conclusión puede aparecer un asunto completamente ajeno a las premisas [...] Pero ni Kant ni los escolásticos contemplan el hecho de que una proposición indefinidamente complicada, muy lejos de ser obvia, a menudo puede deducirse mediante razonamiento matemático, o deducción necesaria, mediante la lógica de los relativos, a partir de una definición de la mayor sencillez, sin asumir hipótesis alguna (de hecho, tal suposición sólo podría simplificar la proposición deducida);[CP 3.641 y 2.361]

Como cuestión de terminología, algunos lógicos usan 'tautología' como sinónimo de verdad lógica, mientras que otros la restringen a verdades lógicas del cálculo proposicional. Usaré el término más general verdad lógica.

Para una lógica dada, como la lógica clásica, una verdad lógica es una proposición que resulta verdadera en todas las circunstancias, o en todas las interpretaciones, o en todas las sustituciones uniformes de sus términos no lógicos, o en todas (inserte aquí su cuenta de validez preferida) . También es correcto decir que todas las verdades lógicas son lógicamente equivalentes entre sí, ya que la equivalencia lógica es en sí misma una relación que se da entre proposiciones que tienen el mismo valor de verdad en todas las circunstancias. Entonces podemos estar de acuerdo con Wittgenstein en que todos los teoremas de la lógica son verdades lógicas y todos son lógicamente equivalentes.

Pero esto está lejos de decir que todos los teoremas de la lógica dicen lo mismo con diferentes palabras. Todavía menos significa que la lógica sea de alguna manera redundante, o que pueda desecharse, porque sus proposiciones son meras verdades lógicas o tautologías.

1. Por un lado, el 'significado' es un concepto más detallado que las condiciones de verdad. Por lo tanto, decir de dos proposiciones que son lógicamente equivalentes, o incluso necesariamente equivalentes, no significa que digan lo mismo o que signifiquen lo mismo. Para más información sobre esto, consulte el artículo de la SEP sobre la hiperintensionalidad .

2. La lógica tiene valor epistemológico. Nadie es lógicamente omnisciente, por lo que la expresión de una verdad lógica, o la exhibición de una prueba lógica, puede proporcionar información de la que antes carecía una persona. La lógica puede ser particularmente útil para combinar información de diferentes fuentes y revelar algo previamente desconocido.

3. La lógica puede ser útil para axiomatizar un cuerpo de información. Aunque esto no presenta ninguna información nueva, tiene valor al mostrar cómo los teoremas comparativamente menos obvios de una teoría son deducibles de los axiomas comparativamente más obvios. Esto también se puede extender a la axiomatización de la lógica misma, lo que puede ayudar a proporcionar una justificación epistemológica de la lógica. Esto se relaciona con lo que Russell pretendía hacer al construir los cimientos de la lógica y las matemáticas.

4. Una verdad o prueba lógica puede servir para proporcionar un algoritmo para calcular un resultado. La lógica está estrechamente relacionada con la computación, a través de la correspondencia de Curry-Howard . Entonces, una proposición o prueba lógica no es redundante o simplemente 'tautológica' en un sentido trivial solo porque expresa una verdad lógica.

Esta escena parece implicar que Russell no vio la lógica como tautologías.

Correcto. La visión de Wittgenstein sobre "lógica = tautologías" se basó en la lógica proposicional y la tabla de verdad. Desafortunadamente, la tabla de verdad no es aplicable a la lógica de predicados y, por lo tanto, las fórmulas de lógica de predicados válidas no son tautologías en el sentido proposicional.

Además, Russel (y Whithead) fueron defensores de la filosofía logicista de la lógica y las matemáticas, según la cual todas las matemáticas pueden derivarse de axiomas "puramente" lógicos; por lo tanto, no es razonable afirmar que todas las matemáticas son solo "decir las mismas cosas con diferentes palabras" (ver Logicomix arriba: "Whitehead y yo pasamos más de mil páginas para construir los cimientos de la lógica y ... [matemáticas] " ) .

Considere el Axioma del Infinito de Principia (pero también el Axioma Multiplicativo ): según Russell es un axioma lógico pero no podemos describirlo como una tautología.

Pero también es justo decir que los puntos de vista tractarianos de W sobre las matemáticas no son fácilmente reducibles al eslogan: "todas las matemáticas son tautología".

Hay un elemento de verdad y de licencia dramática en la novela gráfica. Es, después de todo, una obra literaria más que un reportaje. Russell había perdido la fe cristiana en la que se crió cuando era joven y mostró todo el fervor evangélico de un hombre convertido a un nuevo credo al escribir su libro, ¿Por qué no soy cristiano?. Como la metafísica está estrechamente relacionada con la teología, esto explica la referencia despectiva a la 'boosh metafísica' en el extracto anterior. Pero no fue tan despectivo sobre el intenso compromiso de Wittgenstein con la lógica, después de todo, Russell mismo era un lógico. Sin embargo, se sorprendió por la presunción de Wittgenstein de que había disuelto los "problemas de la vida" al mostrar que la lógica podía responder a todas las preguntas que podían formularse con sentido y lo que quedaba, los problemas de la vida, no eran preguntas en absoluto. No era con la filosofía inicial de Wittgenstein con lo que tenía problemas, sino con su filosofía posterior, en la que iba más allá de los horizontes limitados de sus primeros trabajos (aunque dijo que esos límites eran los límites del mundo).

Mientras Russell cumplía cuatro meses en la prisión de Brixton en 1918 bajo la Ley de Defensa del Reino por una referencia burlona al ejército estadounidense, escribió un libro sobre filosofía matemática donde escribió:

La importancia de la 'tautología' para una definición de las matemáticas me la señaló mi antiguo alumno, Ludwig Wittgenstein, que estaba trabajando en el problema. No sé si lo ha solucionado. O si está vivo o muerto.

De hecho, Wittgenstein estaba trabajando en este problema y había escrito un pequeño libro sobre esto llamado The Tractatus Logico-Philosophicus mientras era soldado en el ejército austríaco. Cuando regresó a Cambridge, Russell se ofreció a escribir una introducción y fue este gesto amistoso por parte de Russell lo que provocó la publicación del libro: tenía el sello de aprobación de Russell. Sin embargo, cuando Wittgenstein recibió la introducción de Russell en su Tractatus el 9 de marzo de 1920, se sintió decepcionado y luego dijo:

Hay mucho de eso con lo que no estoy del todo de acuerdo, tanto en lo que me criticas como en lo que simplemente intentas dilucidar mi punto de vista. Pero eso no importa. El futuro nos juzgará...

Bueno, un filósofo lo hizo en 2016, Mario Bunge, un filósofo argentino-canadiense, llegó a la conclusión mencionada en el extracto anterior como lo relató en su autobiografía, Entre dos mundos: Memorias de un filósofo-científico . Esto se debe a la visión de Wittgenstein de las matemáticas como simplemente una colección de tautologías dado un sistema axiomático. Bunge vio que esto estaba obviamente mal.

Ahora bien, la razón principal por la que Bunge despreciaba tanto a Wittgenstein se debe en parte al pensamiento convencional de que las tautologías no valen nada. Que son verdades vacías porque se sostienen simplemente por medios lógicos. Esta es una visión que surgió aproximadamente debido a la perspectiva formalista de los sistemas axiomáticos. Sin embargo, Euclides sostuvo que sus axiomas para la geometría eran realmente ciertos. Esto fue afirmado por Descartes, quien habló sobre los axiomas basados ​​en 'ideas claras y distintas'. Y aunque sus teoremas son en cierto sentido tautologías, sin embargo, lo que Euclides estaba haciendo no era vacío. Organizó una gran cantidad de material sobre geometría sobre una base sistemática y los fundó deductivamente y fue una enorme fuente de inspiración para las futuras generaciones de geómetras, físicos y filósofos. También para Wittgenstein - basó suEl tratado sobre el método geométrico de teología racional de Spinoza y Spinoza se inspiró directamente en Euclides.

En lugar de pensar en los teoremas como tautologías, pensemos simplemente en los teoremas. ¡Después de todo, formalmente son equivalentes! No cualquier viejo teorema servirá, un buen teorema debe iluminar y abrir nuevas líneas de investigación. De hecho, a menudo los teoremas no existen por sí solos sino que se entrelazan y muchos teoremas son generalizaciones de un teorema primordial cuya importancia ha sido reconocida por la tradición y, por lo tanto, pertenecen a una familia de teoremas, uno que se expande sobre otro. Otros son variaciones sobre un tema. Ahora, regresemos al lado de la tautología de esta equivalencia y veamos qué tenemos. Bueno, tenemos un conjunto de axiomas y reglas para su deducción 'lógica'. Entonces, ¿qué deducimos? Después de todo, son posibles tantas deducciones, de hecho infinitas. No sabemos por dónde empezar. Como Euclides ya entendió, las matemáticas no están separadas del mundo, sino que dan testimonio de él, o más bien, el mundo de él. Es lo que se llama la Teoría de la Correspondencia de la Verdad. Wittgenstein establece claramente esto como proposiciónTratado 4.25:

Si una proposición elemental es verdadera, entonces existe un estado de cosas; si una proposición elemental es falsa, entonces el estado de cosas no existe.

Su 'estado de cosas' es un hecho en el mundo real y, por lo tanto, una proposición es verdadera si este hecho al que se refiere la proposición es verdadero. Se refirió a esta referencia como pecado o sentido. Un término que tomó prestado de Frege. Una proposición sin sentido no es realmente una proposición. Así las proposiciones de la matemática formal o de la lógica formal, carentes de sentido, no son proposiciones verdaderas. Por eso los lógicos modernos las llaman simplemente oraciones, y el sistema lógico, una gramática, para construir oraciones. Esto no es lógica como la concibió Aristóteles, como un proceso de preservación de la verdad, porque no se afirma ninguna verdad. En cambio, los lógicos modernos los consideran un lenguaje formal.

Por lo tanto, se podría pensar que este ha sido un paso atrás. Una vez que la lógica se trataba de la verdad, pero la verdad se ha vaciado de ella. Esta no es una buena noticia para los filósofos que buscan la verdad, y esto explica la reacción de Bunge.

Pero esto es sólo la mitad de la división proposición-mundo. Y para ser justos con Bunge, es el único lado, en términos generales, en el que trabajó Wittgenstein. La otra cara la proporcionó Gödel una década después de la publicación del Tractatus . Simplemente se dio cuenta de que podemos tener un mundo formal de referencia. Por ejemplo, se puede demostrar que una teoría axiomática del número, que por lo anterior es simplemente una teoría sintáctica y, por lo tanto, no se trata de un número, se trata realmente de un número, haciendo referencia al conjunto de números y validando todos los teoremas sobre ellos. Este último lado se llama semántica por razones obvias y son ambos juntos, sintaxis y semántica o lógica sintáctica y un modelo, lo que constituye una lógica completa. Y la teoría de esto se llama teoría del modelo.

Pero esto es nuevamente injusto para Wittgenstein, él también trabajó en el lado semántico. De hecho, lo vio de tal importancia cardinal y el punto de partida natural de la lógica que en las dos primeras proposiciones del Tractatus , dice:

El mundo es todo lo que es el caso

Y

El mundo es una totalidad de hechos, no de cosas.

Esto parece ser exactamente lo contrario de lo que diríamos en un principio. El mundo está hecho de cosas y es la mente humana la que distingue los hechos y esto no debe confundirse con el mundo mismo. Pero en realidad, Wittgenstein estaba creando un espacio lógico para los hechos que tenían del mundo. Este es el lado semántico -en la teoría de modelos- del mundo. Qué se puede decir para sostenerlo. Son los teoremas del mundo, es modelo o imagen.

Que esto se entienda tan poco se debe a una fetichización del lado formal de la obra de Wittgenstein.

Entonces Bunge tiene razón. Wittgenstein empobreció la lógica y las matemáticas. Pero también se equivocó al poner una semilla que luego floreció. Es en la perspectiva de la teoría de modelos que podemos subvertir la visión de Wittgenstein de las matemáticas como meras tautologías. Aquí, esto está bien, porque no estamos interesados ​​en encontrar teoremas en estos sistemas, sino en mirar a vista de pájaro y ver todas las teorías matemáticas a la vez y es en este nuevo nivel, el de la teoría de modelos, que los teoremas, en el sentido tradicional, han de ser encontrados y han sido encontrados. Itvis, en vrief, nuevas matemáticas. En cierto sentido, Wittgenstein no se refería a las matemáticas sino a las metamatemáticas.

Pero dejaré la última palabra a Wittgenstein a través de Russell:

Solía ​​venir a mis habitaciones a medianoche y durante horas caminaba de un lado a otro como un tigre enjaulado. Al llegar, anunciaba que al salir de mis habitaciones se suicidaría. Entonces, a pesar de tener sueño, no me gustaba echarlo.

En una de esas noches, después de una hora o dos de silencio sepulcral, le dije: "Wittgenstein, ¿estás pensando en la lógica o en tus pecados?"

"Ambas cosas dijo," y volvió al silencio.

Lógica pecaminosa, ahora hay un pensamiento.

Bueno, por supuesto, la lógica tiene una parte matemática, pero no toda como matemática, que las matemáticas no pueden reducirla a una tautología como en Witgensteins LOGİC.