¿Es ya una paradoja un conjunto que se contiene a sí mismo?

Esto está inspirado en la paradoja de Russel que establece que no hay un conjunto de todos los conjuntos. Utiliza la presuposición de que el conjunto puede contenerse a sí mismo. Sin embargo, esto ya parece paradójico.

Supongamos un conjunto A = {}. Entonces el conjunto más pequeño que lo contiene será {{}}. Llamémoslo B. Como {} != {{}}, podemos decir que A != B. Es decir, podemos decir que {} no pertenece a {}. Luego no hay conjunto que se contenga a sí mismo. De acuerdo con esto, la paradoja de Russel en sí es indefinible, ya que cualquier conjunto no se contendrá a sí mismo.

Por supuesto, tal vez en la teoría ingenua de conjuntos se suponía que un conjunto se pertenece a sí mismo, pero entonces deberíamos decir {{}} = {} y, por ejemplo, {a, {a}} = {a}.

Por lo tanto, no puedo entender cómo la paradoja de Russel es realmente una paradoja si un conjunto que se contiene a sí mismo no lo es. ¿Me estoy perdiendo de algo? ¿Se reconoce este problema y, de ser así, cómo se trata?

Si desea modelar conjuntos que pueden contenerse a sí mismos, no puede escribirlos en la notación de corchetes, piense más en gráficos dirigidos y puntiagudos donde el conjunto que contiene solo a sí mismo y nada más se expresaría mediante un solo nodo con un bucle.
@fweth, tengo un problema al ver cómo un conjunto que contiene otro conjunto también puede estar contenido en algún lugar entonces. ¿Los vértices contienen grafos?
No. En primer lugar, no estoy muy versado en este tipo de teorías de conjuntos, solo quería darte una idea aproximada. Pero no veo problemas en el modelado, por ejemplo, el conjunto que contiene el conjunto que solo se contiene a sí mismo. Sería un gráfico con el conjunto de vértices {A,B} y el punto de entrada designado A tal que hay un borde de A a B y uno de B a B. (Pero con mayor precisión, toma clases de isomorfismo de gráficos puntiagudos porque las etiquetas deben ser reemplazable.)
El problema con el que se encontrará es que incluso si solo dice "Estoy usando una teoría de conjuntos ingenua", cuando se trata de ciertas preguntas como esta, y como la hipótesis del continuo, eventualmente tendrá que ser explícito. sobre qué suposiciones estás haciendo (qué axiomas adoptas) y podrás ver si obtienes o no una contradicción de ellos. Esto es análogo a por qué Cantor no pudo averiguar si CH era cierto, su teoría ingenua era demasiado vaga.
@Not_Here, CH tampoco es verdadero ni falso en ZFC. No se trata de una teoría de conjuntos ingenua.
@rus9384 Lmao está bien amigo, una vez más estás ofuscando lo que estoy diciendo. Reemplace "verdadero" con "probable" en esa última oración. ¿Cuál es el punto de quejarse de eso cuando estoy tratando de ayudarte a entender algo sobre lo que estás haciendo una pregunta? Literalmente se trata de una teoría de conjuntos ingenua. En ZF+V=L, CH es verdadero y demostrable, pero obviamente hay otros sistemas en los que no lo es, por lo que la respuesta a "es CH demostrable " depende literalmente del sistema que esté utilizando, podría ser demostrable, refutable, o independiente. La teoría de conjuntos ingenua es demasiado vaga para responder a la pregunta.
Lo mismo ocurre con "¿puede un conjunto ser miembro de sí mismo?" Depende de los axiomas que estés asumiendo. Hay algunos sistemas en los que eso está totalmente bien, hay algunos en los que explícitamente no está bien. El solo hecho de suponer que una teoría de conjuntos ingenua no es suficiente información para determinar si está bien o no, es exactamente el mismo problema que tiene CH.
@Not_Here, pero ZFC difiere de L. La cosa (a través de la paradoja de Russel) fue que la teoría ingenua demostró ser inconsistente, por lo tanto, CH es tanto verdadero como falso en la teoría ingenua. Lo que pregunté es si en la teoría ingenua los conjuntos podrían ser miembros de sí mismos haciendo que la paradoja de Russel sea contradictoria.
L es un modelo de ZFC. L es un modelo de ZF y ZF+V=L, del cual L es también un modelo, implica el axioma de elección, por lo que L es un modelo de ZFC, no sé qué significa "ZFC difiere de L". Eso significa que dentro del modelo L , los axiomas de ZFC son ciertos y también lo es CH. Por supuesto, difiere, uno es un conjunto de axiomas y el otro es un modelo, pero ¿cuándo vi que eran lo mismo, o incluso el tipo de cosa?
Mira esto es lo que quiero que pruebes y entiendas y si aun no lo haces no se como ayudarte con este problema, lo que digo es casi lo mismo que dijo Mauro, solo enfatizando algo más. La declaración "Estoy asumiendo una teoría de conjuntos ingenua" es vaga, no significa nada. La teoría de conjuntos ingenua puede significar muchas cosas diferentes, por lo que la pregunta "es x demostrable en mi sistema" es inherentemente vaga porque no ha sido explícito con el sistema que está utilizando. Hay teorías de conjuntos en las que los conjuntos pueden ser miembros de sí mismos, otras en las que no. ¿Cuál estás usando?
La realización durante la crisis fundacional de este punto exacto es por qué las paradojas fueron tan importantes y lo que condujo a ZFC. Se dieron cuenta de que en su particular teoría ingenua de conjuntos estaban asumiendo una comprensión ilimitada. Literalmente, hicieron explícitas sus suposiciones y se dieron cuenta de que había una contradicción. Que es lo que estoy tratando de transmitirte.
"{} no se contiene a sí mismo, por lo tanto ningún conjunto se contiene a sí mismo" ?? No estoy seguro de seguir
@BallpointBen, solo tome cualquier conjunto S, este conjunto en sí mismo no es parte de ningún conjunto como se muestra. Puedes ver que es parte de cualquier conjunto P solo si P = {S, otros elementos posibles}. Por lo tanto, necesita un par de soportes adicionales para que este conjunto esté contenido en cualquier lugar. Pero el conjunto con corchetes adicionales es otro conjunto.
@ rus9384 Claro, ningún conjunto finito es su propio subconjunto, pero no veo por qué los conjuntos infinitos no pueden serlo.
@BallpointBen, bueno, con conjuntos infinitos todo es más difícil, porque aleph_0 + 1 = aleph_0. Creo que sin axiomas adicionales es independiente, lo que significa que no podemos decir que un conjunto se contiene a sí mismo.

Respuestas (2)

La paradoja de Russell surge dentro de la teoría de conjuntos ingenua al considerar el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Tal conjunto parece ser miembro de sí mismo si y sólo si no es miembro de sí mismo. De ahí la paradoja.

La "raíz" de la paradoja es el llamado Principio de Comprensión sin restricciones de la teoría ingenua de conjuntos:

para cada propiedad φ(x) expresable en el lenguaje, existe el conjunto {x: φ(x)} de todos y sólo aquellos objetos que satisfacen esa propiedad.

La paradoja surge considerando como φ(x) la propiedad “ ~(x ∈ x) ”.

La solución de Zermelo a la paradoja se basa en el reemplazo del principio de comprensión con el esquema de especificación del axioma :

para afirmar la existencia del conjunto B que satisface la propiedad φ(x) , tenemos que "separarlo" de un conjunto A ya existente .

¿Cómo evita la teoría de Zermelo la paradoja de Russell?

Asumiendo la existencia de V – todo el universo de conjuntos – y siendo φ x ∉ x , parece surgir nuevamente una contradicción. Pero en este caso, toda la contradicción muestra que V no es un conjunto.

Todo lo que muestra la contradicción es que “V” es un nombre vacío, es decir, que no tiene referencia, que no existe.

En conclusión, la inexistencia del conjunto de todos los conjuntos es una característica de la Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel .

Hay teorías de conjuntos axiomáticas alternativas , como los nuevos fundamentos de Quine , donde existe el conjunto universal V.

La imposibilidad de conjuntos "circulares", como por ejemplo x ∈ x , se debe al Axioma de regularidad .

El axioma implica que ningún conjunto es un elemento de sí mismo, y que no hay una secuencia infinita {a(n)} tal que a(i+1) sea un elemento de a(i) .

Hay otras teorías axiomáticas de conjuntos que no están bien fundamentadas , es decir, que permiten que los conjuntos se contengan a sí mismos y, de otro modo, violen la regla de la buena fundamentación.

Conclusión : un conjunto que se contiene a sí mismo no es per se una paradoja. Pueden surgir paradojas en cooperación con otras suposiciones básicas sobre conjuntos.

El conjunto universal es un ejemplo de "conjunto que se contiene a sí mismo" y su concepción es bastante natural.

¿Tiene sentido la regla de fundamentación en conjuntos múltiples? Asumí algún tipo de átomo (que no es un conjunto múltiple) y conjuntos múltiples que solo difieren por su tamaño (número de ocurrencias de ese átomo). Entonces asumo que cualquier conjunto múltiple se contiene a sí mismo, pero aún así no puede ser un átomo.

Para cualquier relación binaria R (no solo "es un elemento de"), es trivial probar, usando las reglas ordinarias de la lógica, que:

~Ej: Ay: [yRx <=> ~yRy]

(Suponga lo contrario y obtenga una contradicción en 1 o 2 líneas.)

Entonces, la raíz del problema no era que los conjuntos fueran elementos de sí mismos, signifique lo que signifique. El problema fue que los primeros intentos de axiomatizar la teoría de conjuntos permitieron probar que, contrariamente a las reglas de lógica mencionadas anteriormente:

Ej: Ay: [y en x <=> ~ y en y]

Este "error" fue corregido por varios medios en versiones posteriores de los axiomas de la teoría de conjuntos (o lógica en algunos casos) que, de una forma u otra, anularían este teorema.

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