Empecé a leer A Modern Formal Logic Primer de Paul Teller . En el primer capítulo, el libro presenta los argumentos inductivos y deductivos con los siguientes ejemplos:
El argumento inductivo:
Adam ha sonreído mucho hoy.
Adam no ha fruncido el ceño en absoluto hoy.
Adam ha dicho muchas cosas buenas a la gente hoy, y ninguna cosa hostil.
Por lo tanto
Adam está feliz hoy.
El argumento deductivo:
Adam acaba de obtener una 'A' en su examen de lógica.
Cualquiera que obtenga una 'A' en un examen es feliz.
Por lo tanto,
Adán está feliz.
Si excluimos el 2) en el argumento deductivo, se convierte en un argumento inductivo. Además, 1) y 2) en el argumento deductivo son una forma de inducción matemática. Es decir, el 1) y el 2) son algo de:
(i) P(1) es verdadera, es decir, P(n) es verdadera para n = 1. (por ejemplo, Adam = 1)
(ii) P(n+1) es verdadero siempre que P(n) sea verdadero, es decir, P(n) es verdadero implica que P(n+1) es verdadero. (Cualquiera = n+1, Adán = n)
Entonces P(n) es verdadero para todos los números naturales n. (Adán está feliz.)
Como soy realmente un novato en lógica, ¿es correcto lo anterior? ¿Existe algún tipo de conexión entre la inducción matemática y los argumentos deductivos? En caso afirmativo, dado que la deducción lógica está conectada con la inducción matemática, ¿con qué está conectada la inducción lógica?
Considere el argumento presentado en el OP que se afirma que es similar a la inducción matemática:
(i) P(1) es verdadera, es decir, P(n) es verdadera para n = 1. (por ejemplo, Adam = 1)
(ii) P(n+1) es verdadero siempre que P(n) sea verdadero, es decir, P(n) es verdadero implica que P(n+1) es verdadero. (Cualquiera = n+1, Adán = n)
Entonces P(n) es verdadero para todos los números naturales n. (Adán está feliz.)
En la inducción matemática, n oscila sobre el dominio de los números naturales que tienen un primer elemento (1) y están conectados por una relación de orden de modo que dado un número natural, n, podemos encontrar el siguiente. Esto permite que la inducción matemática cubra todos los números naturales una vez que uno ha mostrado algo sobre el primero y luego dado un número natural arbitrario que también tiene ese algo, se muestra que el siguiente también tiene ese algo.
Considere el ejemplo. En la primera oración, el dominio no está claro. Ciertamente Adam es un miembro del dominio. En la segunda oración hay un "cualquiera" asumiendo que hay más elementos en el dominio que Adam. En la conclusión, todo lo que sabemos es que Adán es feliz. ¿Hay otros en el dominio además de Adam? Quizás Adam es el único elemento en el dominio.
Además, suponiendo que hay otros en el dominio además de Adán, digamos María, ¿hay un orden en los elementos del dominio como en los números naturales de modo que después de Adán tengamos otro elemento, digamos Joe, y antes de María haya alguien, digamos , Jane? Es poco probable que exista este orden.
Finalmente, la primera oración dice que Adam es 1. Eso significa que Adam no es n a menos que n sea idéntico a 1. Para el paso inductivo en la inducción matemática, tomamos una n arbitraria de los números naturales, que correspondería a una persona arbitraria del dominio de las personas que estamos considerando. No tomaríamos un número específico como 1 o incluso 10, sino un número natural arbitrario y por eso se deja sin especificar como n . Por lo tanto, afirmar que Adam es n no funcionaría a menos que el dominio solo incluya a Adam.
Paul Teller proporciona una buena observación sobre la diferencia entre inducción y deducción después de advertir: "No dejes que nadie te diga que estos términos tienen definiciones rigurosas" (página 3):
Tendemos a llamar " deductivo " a un argumento cuando afirmamos, sugerimos o simplemente esperamos que sea deductivamente válido. Y tendemos a llamar ' inductivo ' a un argumento cuando queremos reconocer que no es deductivamente válido pero queremos que sus premisas aspiren a hacer verosímil la conclusión.
Incluso la primera declaración de que "Adán = 1", lo que implica que Adán es feliz, es inductiva. Todo lo que sabemos son algunas premisas sobre Adán enumeradas anteriormente que
Adam ha sonreído mucho hoy.
Adam no ha fruncido el ceño en absoluto hoy.
Adam ha dicho muchas cosas buenas a la gente hoy, y ninguna cosa hostil.
La conclusión no es deductiva porque estas tres premisas pueden ser ciertas, pero Adán podría no estar realmente feliz. Como menciona Teller (página 3), "... las premisas no descartan la posibilidad de que Adán simplemente esté fingiendo ser feliz".
Referencia
Teller, P. (1989). Una cartilla de lógica formal moderna. Prentice Hall. http://tellerprimer.ucdavis.edu/
La afirmación en cuestión es que el siguiente argumento deductivo es una instancia de inducción matemática o MI . (Por cierto, este es su reclamo, no el de Teller, ¿verdad?)
Adam acaba de obtener una 'A'.
Cualquiera que obtiene una 'A' es feliz.
∴ Adán es feliz.
Si bien sé más sobre lógica que sobre matemáticas, encuentro que esta es una afirmación muy tenue. El argumento deductivo tiene esta forma:
A
Pa
∀x(Px→Qx)
∴ Qa
Por el contrario, MI toma esta forma:
MI
P0
∀x(Px→Px+1)
∴∀xPx.
De inmediato, notamos dos diferencias: (i) A contiene dos predicados, P y Q, mientras que MI contiene solo uno. (ii) La conclusión de MI es una afirmación universal, mientras que la de A no lo es. ( El propósito central de MI es mostrar que todos los números tienen una propiedad).
Hay otras dos diferencias conceptualmente más importantes: (iii) incluso para formular MI , necesitamos la adición, o al menos la noción de sucesor , pero ninguno está disponible en FOL. (iv) MI es un axioma de la aritmética, algo que agregamos a la lógica para obtener PA, por ejemplo. A , por el contrario, no se basa para su validez en ningún axioma (no lógico). Para decirlo de manera más técnica, Robinson Arithmetic (por ejemplo) no incluye MI , pero A sigue siendo válido en esa teoría.
En resumen: no creo que el argumento deductivo sea un ejemplo de inducción matemática.
Estás confundiendo parte de la terminología y los conceptos. La inducción lógica es un tipo de razonamiento diferente al razonamiento deductivo. La inducción matemática es el nombre de un procedimiento de inferencia deductiva en lógica matemática. Parece que estás tomando la definición del término "inducción" literalmente donde lo ves. Esto está mal. Debe comprender que las definiciones provienen del contexto y no de los diccionarios. Una misma palabra puede tener diferentes significados según el contexto. Sin embargo, en este caso, el nombre que la gente le dio a la regla de inferencia podría haberse aplicado mejor. Comencemos con los diferentes contextos.
El razonamiento inductivo es un patrón de razonamiento que tiene conclusiones que no son seguras. Es decir, no se garantiza que la conclusión de un argumento inductivo sea verdadera mientras las premisas sean verdaderas. La conclusión puede ser verdadera hoy y la misma conclusión falsa 10 años después. Otros factores pueden hacer que la conclusión sea verdadera y no solo las premisas dadas. También puede tener una conclusión verdadera mientras que las premisas son falsas. Piense en la probabilidad de que la conclusión sea verdadera sin certeza. Otra forma de decirlo es que el razonamiento inductivo es probable. Has oído hablar de estadística o probabilidad, ¿no? Es decir, la conclusión de un argumento tiene un percentil de ser correcto: es decir, 1% hasta 99% de ser cierto. Todas las ciencias famosas encajan en esta categoría.
El razonamiento deductivo es el patrón de razonamiento que tiene certeza en las conclusiones si las premisas son verdaderas. Sería imposible para uno seguir las reglas y que la conclusión de un argumento sea falsa mientras que las premisas son verdaderas simultáneamente. El razonamiento inductivo no tiene esta característica. La inducción puede ser correcta pero este patrón no SIEMPRE da certeza. Ya la distinción es un patrón de razonamiento (inducción) que da verdad algunas veces y falla algunas veces. El otro patrón (razonamiento deductivo) tiene reglas similares a las matemáticas y seguir las reglas hace que sea imposible obtener una respuesta incorrecta. Si uno obtiene una respuesta incorrecta, al menos una de las reglas conocidas tenía que ser violada. La inducción matemática es un procedimiento deductivo utilizado en el razonamiento para derivar una conclusión en un argumento.tipo de razonamiento como razonamiento inductivo. El procedimiento de razonamiento tiene reglas que, si se siguen, derivan en una conclusión que debe ser verdadera si las premisas (esto incluye las suposiciones) también lo son. Wikipedia tiene un artículo útil sobre la inducción matemática. También puede utilizar el motor de búsqueda de Google para obtener más información sobre otras páginas web que tratan más sobre la inducción matemática. Muchos sitios dedicados a las matemáticas tendrán una descripción al respecto.
El ejemplo que diste de un argumento deductivo no parece encajar en el patrón de la inducción matemática sino en el de un silogismo categórico. Escribiría como un silogismo categórico como este: Todas las personas que reciben una "A" en un examen son personas felices. Adam ha recibido una "A" en un examen. Por lo tanto, Adán es una persona feliz.
Un matemático traduciría eso en forma condicional: si una persona obtiene una "A" en un examen, entonces será una persona feliz. Adam ha recibido una "A" en un examen. Por lo tanto, Adán es una persona feliz.
No hay inducción matemática en ninguno de los dos casos.
franco hubeny