¿Es descuidado decir que la isotropía del espacio conduce a la conservación del momento angular?

Question

¿Es descuidado decir que la isotropía del espacio conduce a la conservación del momento angular?

SRS

A veces se dice que la isotropía del espacio conduce a la conservación del momento angular . Pero la derivación de la conservación del momento angular no se sigue de la isotropía del espacio sino de la acción . Sabemos que el espacio que nos rodea no es isótropo, pero el momento angular aún se conserva si la acción tiene simetría rotacional.

¿Es, por lo tanto, descuidado decir que la isotropía del espacio conduce a la conservación del momento angular ?

dmckee --- gatito ex-moderador

“Sabemos que el espacio que nos rodea no es isotrópico” ¿Lo hacemos?

qmecanico

Si desea utilizar el teorema de Noether, necesita un principio de acción.

SRS

@dmckee Si una piedra atada a una cuerda gira en un círculo a una velocidad angular constante, el lagrangiano correspondiente es rotacionalmente invariante, lo que conduce a la conservación del momento angular. Pero el espacio en el que lo hago, por ejemplo, en el centro de mi habitación de forma cuadrada, no tiene un entorno rotacionalmente simétrico.

dmckee --- gatito ex-moderador

@SRS Esa no es una anisotropía del espacio, es una anisotropía de cosas. A menos que su experimento sea sensible a la gravedad de las paredes (o se tope con ellas), no importan. Por eso funciona justo en el plano horizontal y no en el vertical (porque eres sensible a la gravedad del planeta).

una mente curiosa

Los comentarios no son para una discusión extensa; esta conversación se ha movido a chat .

Respuestas (3)

¿Es descuidado decir que la isotropía del espacio conduce a la conservación del momento angular?

“Sabemos que el espacio que nos rodea no es isotrópico” ¿Lo hacemos?
Si desea utilizar el teorema de Noether, necesita un principio de acción.
@dmckee Si una piedra atada a una cuerda gira en un círculo a una velocidad angular constante, el lagrangiano correspondiente es rotacionalmente invariante, lo que conduce a la conservación del momento angular. Pero el espacio en el que lo hago, por ejemplo, en el centro de mi habitación de forma cuadrada, no tiene un entorno rotacionalmente simétrico.
@SRS Esa no es una anisotropía del espacio, es una anisotropía de cosas. A menos que su experimento sea sensible a la gravedad de las paredes (o se tope con ellas), no importan. Por eso funciona justo en el plano horizontal y no en el vertical (porque eres sensible a la gravedad del planeta).
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Sean E. Lago · Answer 1

Los términos "isotropía del espacio" e "invariancia rotacional de la acción" se toman como sinónimos, ya que uno implica al otro en la relatividad general. Las anisotropías del espacio observadas se consideran debidas a la presencia de materia que participa en el intercambio de momento angular, por lo que sería más exacto decir que "si el espacio es isotrópico en ausencia de materia/energía, entonces el momento angular se conserva".

Con un poco más de detalle, cuando el tensor tensión-energía es cero (ausencia de materia/energía), la curvatura es cero. En términos de las ecuaciones de campo de Einstein :

\begin{aligned} R_{m v} - \frac{1}{2} R {gramo}_{m v} + Λ {gramo}_{m v} & = \frac{8 π GRAMO}{C^{4}} T_{m v} = 0 \Rightarrow \\ R_{m v} & = 0, \end{aligned}

$\begin{align} R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} &= \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} = 0 \Rightarrow \\ R_{\mu\nu} & = 0, \end{align}$ es decir, el tensor de curvatura de Ricci es cero. Si asumimos que los símbolos de Christoffel , son métricos compatibles y libres de torsión, tienen esta forma:

Γ_{k yo}^{i} = \frac{1}{2} {gramo}^{i metro} (\frac{\partial {gramo}_{metro k}}{\partial X^{yo}} + \frac{\partial {gramo}_{metro yo}}{\partial X^{k}} - \frac{\partial {gramo}_{k yo}}{\partial X^{metro}}) .

$\Gamma^i_{\hphantom{i}kl} = \frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l} + \frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m}\right).$ Debido a que la curvatura de Ricci está definida por los símbolos de Christoffel como

R_{m v} = \partial_{ρ} Γ_{v m}^{ρ} - \partial_{v} Γ_{ρ m}^{ρ} + Γ_{ρ λ}^{ρ} Γ_{v m}^{λ} - Γ_{v λ}^{ρ} Γ_{ρ m}^{λ},

$R_{\mu\nu} = \partial_\rho\Gamma^\rho_{\hphantom{\rho}\nu\mu} - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\hphantom{\rho}\rho\mu} + \Gamma^\rho_{\hphantom{\rho}\rho\lambda} \Gamma^\lambda_{\hphantom{\lambda}\nu\mu} - \Gamma^\rho_{\hphantom{\rho}\nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\hphantom{\lambda}\rho\mu},$

R_{μ ν} = 0

$R_{\mu\nu} = 0$ implica una serie de cosas, pero la implicación relevante para su pregunta es que la métrica es invariante de rotación. Una métrica invariante de rotación es sinónimo de isotropía del espacio.

Es cierto que requiere $T^{\mu\nu}=0$ es una condición demasiado fuerte. es suficiente que $T^{\mu\nu}$ es invariante bajo rotaciones espaciales (isotropía de tensión/energía) para obtener la isotropía del espacio.

La conexión con la acción es que las ecuaciones de campo de Einstein se derivan de encontrar el punto estacionario de la acción de Einstein Hilbert sumado a la acción que describe el resto de la física con respecto al tensor métrico, $g_{\mu\nu}$ .

¿Quiere decir que si hay alguna anisotropía del espacio que tendrá que codificarse en el Lagrangiano? Por favor vea mi comentario a dmckee. @SeanE.Lake
Los símbolos de Christoffel tienen esa forma para cada conexión métrica compatible y libre de torsión. y el punto central de la relatividad general es que hablar de "espacio en ausencia de materia/energía" es una construcción sin sentido.
@JerrySchirmer Entonces, estás diciendo que no es posible construir sensatamente un espacio-tiempo con $T^{\mu\nu}=0$ ? ¿Por qué es ese el caso? Las ecuaciones de campo de Einstein tienen sentido con eso, al igual que la acción de Einstein-Hilbert.
@SeanE.Lake: sin embargo, no existe una solución única, depende de las condiciones iniciales y la condición límite, y tiene construcciones como geones que se colapsan en agujeros negros que muestran que la dependencia de "materia / energía" de la geometría subyacente y la "curvatura La dependencia de la geometría subyacente puede ser intercambiable. Además, no existe una forma libre de coordenadas para separar la contribución de "materia" al espacio-tiempo de la contribución de "curvatura" al espacio-tiempo.
¿Son las ondas gravitacionales sin contenido energético? ¿Un agujero negro de Schwarzschild? Esos son $T^{\mu \nu} = 0$ soluciones, también.
@JerrySchirmer ¿Es realmente un agujero negro de Schwarzschild? $T^{\mu\nu}=0$ ¿en todos lados? Tenía entendido que tiene una singularidad en el origen (es decir, una masa puntual). El resto, tiene razón, se reduce a las condiciones de contorno.
@ SeanE.Lake: lo que quiere decir con el "centro" es difícil de extraer de un espacio-tiempo de schwarzschild: es una superficie similar al espacio dentro del horizonte, y el plano normal para la mayoría de las geodésicas exteriores similares al tiempo no lo cruza. Y las ondas gravitacionales que chocan pueden colapsar en un agujero negro, por lo que interpretar la singularidad como "materia que contiene" es difícil si está teorizando "materia" a diferencia de "curvatura" y la singularidad está "hecha de materia".

parker · Answer 2

Claro, supongo que sí. Pero en GR, las métricas rotacionalmente invariantes tienen campos Killing que generan la rotación de simetría, y el producto interno de las cuatro velocidades geodésicas y estos campos Killing se conservan, lo que nos permite definir un "momento angular" conservado que realmente se sigue directamente de la isotropía. del propio espacio, sin necesidad de especificar una acción (siempre y cuando esté de acuerdo con asumir que las partículas en caída libre se mueven a lo largo de las geodésicas).

bob abeja · Answer 3

@tparker tiene razón en que, en general, las isometrías del espacio-tiempo (es decir, un campo vectorial Killing o una derivada de Lie de la métrica que es cero) conducen a una simetría del tensor de energía de estrés (es la derivada de Lie con el mismo campo que es cero ), y además que se puede definir una cantidad conservada en términos del tensor de energía de tensión. Así, la energía se conserva con los campos Killing similares al tiempo, el momento con los campos Spacelike y el momento angular con los campos Killing que obedecen a un grupo rotacional (isotropía).

Como se discutió en los comentarios a la primera respuesta, pero no completamente expuesto, se pueden hacer tres afirmaciones: 1) la autoconsistencia de la EFE impone simetrías en la 'materia energía' que puede formar y mantener ese espacio-tiempo; 2) si ignora parte de la configuración (por ejemplo, las paredes cuadradas), está ignorando una parte integral N de cómo se define el campo, y no obtendrá la ley de conservación que de otro modo se cumple; y 3) claramente las cosas no son tan simples, y de hecho la postulación de una simetría tensorial de 'materia-energía' o tensión-energía no conduce, necesariamente, a una simetría espacio-temporal.

La ecuación no es lineal y no se sigue la correspondencia de las 'simetrías de la energía de la materia' con las simetrías del espacio-tiempo. Hay una larga historia de investigación en esa área con contraejemplos y varios resultados para condiciones cuando son equivalentes; de manera más general, hay una gama de posibles definiciones de las 'simetrías de energía de la materia' donde la equivalencia se mantiene en algunos casos más y en otros menos, pero no hay una relación de uno a uno. Véase, por ejemplo, un artículo de alrededor de 1993 que describe y obtiene resultados de las implicaciones de varias definiciones. Ha habido simetrías de materia de teoría cinética, colineaciones de materia, simetrías de modelos de fluidos perfectos, simetrías electromagnéticas y otras. Parte del problema es, por supuesto, el hecho de que en GR la energía gravitacional (y el momento y la tensión) es parte de la geometría del espacio-tiempo, y uno nunca puede separarlos invariablemente a menos que primero imponga las isometrías del espacio-tiempo. Ver el papel enhttps://link.springer.com/article/10.1007%2FBF00672696 . Puede buscar en Google muchos artículos sobre el tema, que se remontan a principios de los 70. La idea intuitiva de que una simetría de 'materia-energía' generalmente conduce a una isometría del espacio-tiempo nunca se ha probado, pero ciertas relaciones sí.

Cuando ves que la distribución de la materia es isotrópica, y luego asumes que el espacio-tiempo es isotrópico, que yo sepa, nunca se ha probado. Yo tampoco creo que haya sido refutado.

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