¿De dónde vienen las leyes de conservación?

El teorema de Noether es una forma de relacionar las leyes de conservación con las simetrías, pero no es el único ni necesariamente el método más común para hacerlo. Por ejemplo, en mecánica cuántica una simetría continua está asociada con una familia de operadores unitarios$U(\lambda)$que desplazan los valores propios asociados con algún operador (por ejemplo, el operador de posición, en cuyo caso$U(\lambda) \equiv T(\lambda)$traduce estados por$\lambda$).

Se puede demostrar que dicho operador es expresable en términos de un generador autoadjunto (hermitiano)$G$a través de la relación$U(\lambda) = e^{iG\lambda}$. Cuando el hamiltoniano es invariante invariante con respecto a esta transformación (es decir$U^\dagger H U = H$o equivalentemente el conmutador$\left[U, H\right]$se desvanece) la evolución temporal no cambia los valores propios de$U$. Lo mismo es cierto de$G$y, como tal, los valores propios de$G$(y$U$) se conservan en esta circunstancia. Para traducciones espaciales,$G$es proporcional al operador de cantidad de movimiento$p$y el momento es el número cuántico conservado.

Las cantidades conservadas no siempre son escalares. El momento es, por ejemplo, un vector.

En respuesta a su pregunta final, encontrar todas las simetrías de un sistema dado puede ser un problema excepcionalmente difícil. Encontrar tales simetrías es un método común para tratar de hacer que los problemas de muchos cuerpos en la mecánica cuántica sean "integrables" (exactamente solucionables) o tratables mediante métodos numéricos. No existe un método sistemático que funcione en general. Ocasionalmente, se descubren simetrías ocultas en el contexto de problemas bien conocidos, y esto puede ser un gran problema cuando sucede.

Dos comentarios:

Una ley de conservación, al ser una función de los grados de libertad de un sistema, relaciona variables y, por lo tanto, las restringe hasta cierto punto. Más leyes de conservación independientes significan más restricciones y, dependiendo del sistema, no puede tener restricciones infinitas mientras mantiene la propagación de las variables.

En segundo lugar, dada tal constante de movimiento (Energía, cantidad de movimiento), su función de búsqueda también es una constante. por ejemplo la cantidad$(\sum_im_iv_i^2)^7$es constante si$\sum_i\tfrac{1}{2}m_iv_i^2$es.

Las leyes de conservación provienen exclusivamente de ecuaciones de movimiento. Si encontraste tus soluciones$y_i(t)$como funciones de los datos iniciales$y_i(t|y_k(t_0))$, luego puede resolverlos para expresar los datos iniciales a través de los "datos actuales"$y_k(t_0)=f_k(y_i)$y cada una de esas expresiones es una "ley de conservación", una combinación de variables dinámicas que es constante en el tiempo. Entonces, el verdadero origen de las leyes de conservación es la existencia de soluciones de ecuaciones. El número de cantidades que se conservan de forma independiente es el número de datos iniciales dados de forma independiente, aunque la forma de las cantidades que se conservan no es fija: cualquier combinación de cantidades que se conservan es una cantidad que se conserva. Estamos más familiarizados con las leyes de conservación "aditivas" donde se escribe una suma de algunas combinaciones variables de diferentes entidades.

Las simetrías no conducen a leyes de conservación. Ayudan a construir algunas leyes de conservación a partir del Lagrangiano, y nada más. En el caso de una simetría, una cantidad conservada dada puede tomar una forma más simple, nada más.