¿Qué significa que un sistema sea invariante bajo rotación?

Esta pregunta es una consulta para aclarar la confusión con respecto a la invariancia bajo rotación y la conservación asociada del momento angular.

La confusión surgió al estudiar el siguiente problema:

Una partícula con la masa metro se mueve sin fricción sobre una superficie plana de A a B con la velocidad v 0 . Después de que la partícula pasa por el punto B, alguien comienza a tirar de la partícula usando una cuerda delgada que se origina en el punto P. La partícula luego se mueve en un semicírculo de B a C. Cuando la partícula llega al punto D, la atracción del punto cuerda se detiene y la partícula se mueve hacia D con velocidad constante.

El punto O es el punto medio entre B y C, y el centro del semicírculo de B a C. El punto P es el punto medio entre O y C.

imagen del problema

  1. ¿Cuál es la velocidad de la partícula en el punto C?
  2. ¿Cuánto trabajo hace la cuerda sobre la partícula cuando se mueve de B a C?
  3. ¿Cuánto tiempo se tarda en pasar de B a C.

Estaba estudiando la solución del problema con un amigo. La solución implica usar la conservación del momento angular, y es bastante obvio que se conserva alrededor de P, ya que la única fuerza no tiene partes tangenciales en comparación con P.

Mientras hablaba de esta conservación del momento angular, mi amigo mencionó algo llamado el teorema de Noether, y dijo que el momento angular se conserva ya que el sistema es invariante bajo rotación alrededor de P.

Tiene bastante sentido que el sistema no cambie con la rotación alrededor de P: todo simplemente gira, ¿y qué? No entiendo por qué eso implica la conservación del momento angular, y no veo por qué no es invariante en rotación alrededor de otro punto como B. Parece que no entendí lo que significa ser invariante en rotación.

Una respuesta completa a esta pregunta respondería a lo siguiente: ¿Qué significa ser invariante en rotación y por qué implica conservación de la cantidad de movimiento? ¿Por qué el problema enumerado es invariante en rotación alrededor de P, pero no de B?

No he estudiado mecánica lagrangiana ni hamiltoniana.

Respuestas (1)

El teorema de Noether establece que por cada cantidad conservada en un sistema dinámico hay una simetría asociada y viceversa.

Por ejemplo, suponga que tiene un sistema en el que se conserva la energía. Entonces, ya sea que realice un experimento con él en este momento o si realiza el experimento d t tiempo después, obtendrá los mismos resultados. El sistema es invariante bajo la traducción del tiempo.

Suponga que tiene un sistema para el cual el momento se conserva en una dirección particular, digamos, la colisión de dos bolas de billar. Entonces, ya sea que desplace el sistema en la misma dirección y realice el experimento o lo realice aquí, obtendrá los mismos resultados. Compare esto con el sistema en una mesa de billar inclinada. Por eso, así como desplazas el sistema, el impulso de las bolas aumentaría (debido a la gravedad).

En cuanto a su pregunta, la rotación invariable sobre un punto significa invariancia en los resultados cuando se realiza el experimento tal como está y cuando se realiza después de que se haya rotado (instantáneamente) en cualquier ángulo arbitrario sobre ese punto. Por ejemplo, supongamos que estoy en la superficie de la tierra, digamos en Londres, y realizo algún experimento (digamos balancear un péndulo). Ahora, supongamos que instantáneamente doy vueltas alrededor de la tierra y llego a París. Ahora, siempre que no haya habido cambios de altitud y la rotación haya sido instantánea (porque no estamos asumiendo la conservación de la energía), obtendría los mismos resultados para el experimento.

Finalmente, no es invariante con respecto al punto B porque suponga que gira el experimento con respecto a B de modo que el punto P pase por la trayectoria inicial de la partícula. Entonces el movimiento resultante no sería el mismo. Tal como lo pienso, rotar el hamiltoniano es análogo a rotar la configuración de la configuración (los potenciales y las fuentes de fuerzas, etc.) y no las condiciones iniciales de la trayectoria.

¿Qué significa que un sistema sea invariante bajo rotación?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 16v