¿Cómo obtener componentes del tensor métrico?

Sección IV.5.3 Aproximación post-newtoniana de Introducción a la relatividad general, agujeros negros y cosmología, Y. Choquet-Bruhat analiza una derivación de esa métrica. Parece tener su origen en L. Blanchet y T. Damour, 1989, Generación posnewtoniana de ondas gravitacionales .

El punto de partida son las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) en coordenadas armónicas y su desarrollo 1PN y el ansatz

$$\begin{align} g_{00}\equiv&-\exp\left(-\frac{2}{c^2} V\right)\\ g_{0i}\equiv&-\frac{4}{c^3}V_i\\ g_{ij}\equiv&\exp\left(+\frac{2}{c^2} V\right)\gamma_{ij} \end{align}$$ Utilizando la EFE en coordenadas armónicas se puede mostrar en 1PN

$$\gamma_{ij}=\delta_{ij}+O(c^{-4}).$$

Además, se pueden encontrar ecuaciones lineales relacionadas$V$y$V_i$a los términos fuente:

$$\begin{align} \Delta V -\frac{1}{c^2}\partial_t^2V&=-\frac{4\pi G}{c^2} \left(T^{00}+T^{ss}\right)\\ \Delta V_i&=-\frac{4\pi G}{c}T^{0i}. \end{align}$$

Para obtener detalles sobre los cálculos involucrados, recomiendo el libro y el artículo mencionados anteriormente y las referencias que se encuentran en ellos.

Personalmente, no diría que te estás perdiendo algo 'trivial'; tal vez el resultado es 'estándar' de alguna manera que las personas que conocen el campo dan por sentado.

La primera referencia que contiene el resultado parece ser Blanchet, Luc y Thibault Damour. "Generación posnewtoniana de ondas gravitacionales". Annales de l'IHP Physique théorique. vol. 50. No. 4. 1989 (ver ecuaciones$2.10a.$-$c.$en esto).

Toda la derivación es bastante complicada, pero el nivel de complejidad depende de cuál sea su punto de partida.

En el documento vinculado, el resultado se deriva para el campo cercano, donde se supone que la expansión posnewtoniana es válida (es decir,$v/c << 1$, y un campo gravitatorio débil). Esto les permite hacer una serie de suposiciones, incluyendo que$\partial_0 g_{\mu\nu}^{in}/{\partial_i g_{\mu\nu}^{in}} = O(\frac{1}{c})$, dónde$g_{\mu\nu}^{in}$es la métrica en el dominio interno donde se usa esta expansión de campo cercano.

Si comenzamos con la ecuación de Einstein en coordenadas armónicas, se puede derivar el siguiente conjunto de ecuaciones linealizadas:

$\Box\ln(-g^{in}_{00}) = \frac{8\pi G}{c^4}(T^{00} + T^{ss}) + O(\frac{1}{c^6})$

$\Box g_{0i}^{in} = \frac{16\pi G}{c^4}T^{0i} + O(\frac{1}{c^5})$

$\Box g_{ij}^{in} = -\frac{8\pi G}{c^4}\delta_{ij}(T^{0i} + T^{ss}) + O(\frac{1}{c^4})$,

dónde$\Box$es el d'alembertiano (utilizando mayoritariamente$+$métrico), y los diversos componentes del tensor de energía-momento$T$son de orden conocido en$c$.

Por conveniencia, los autores definen

$\sigma = c^{-2}(T^{00} + T^{ss})$y

$\sigma_i = c^{-1}T^{0i}$.

Este es un truco inteligente que les permite simplificar la forma de las ecuaciones resultantes.

Luego definen ciertos potenciales (ec.$2.8$y$2.9$), de donde se siguen los resultados deseados (junto con una serie de saltos intuitivos intermedios para justificar los cálculos). Estos potenciales en sí mismos satisfacen ciertas ecuaciones lineales.

Espero que esto ayude, y disculpas por cualquier error tipográfico. Creo que lo mejor sería leer el documento vinculado. Es un poco complicado y, en cierto sentido, creo que el resultado que publicaste es solo una posible parametrización.