¿Qué significa frecuencias complejas? (Modos Cuasinormales)

Esto todavía no explica cuál es la importancia del factor de i

fórmula de Euler

Así, la parte real de$e^{i\omega}$es$\cos \omega$:

y la parte imaginaria de$e^{i\omega}$es$\sin \omega$:

Ahora considere el número complejo

que llamaremos frecuencia compleja.

Por lo anterior tenemos

La parte real es

y la parte imaginaria es

Claramente, estas son oscilaciones decrecientes (amortiguadas) que, como puede imaginar, son muy importantes para describir muchos sistemas físicos.

Entonces, si bien es posible evitar el uso de frecuencias complejas, es mucho menos conveniente.

Entonces, cuando leo algo sobre cómo los campos caen en los agujeros negros y los modos en consecuencia decaen, ¿por qué las frecuencias correspondientes son complejas?

Si la frecuencia compleja es real,$\sigma = 0$, no hay decadencia, ni disipación.

Las frecuencias de Fourier, y particularmente las complejas, se consideran mejor en términos de exponenciales oscilantes en lugar de senos y cosenos. Es decir, expresas la función de interés.$f(t)$como una especie de superposición (suma, serie o transformada integral) de exponenciales complejas$e^{-i\omega t}$:

Ahora, si su sistema no está cerrado por alguna razón y sus modos decaen (que es más o menos lo que sucede en los modos cuasinormales, pero también sucede en otras configuraciones, como las resonancias metaestables en la mecánica cuántica), entonces puede incorporar fácilmente esto haciendo que el exponencial complejo tenga un poco de exponencial decreciente.

Por lo tanto, si su frecuencia$\omega$tiene una parte imaginaria negativa, entonces$\omega=\omega_0-i\gamma$entonces cada exponencial complejo se puede escribir como

En esencia, tener una frecuencia compleja te permite abarcar, usando un solo parámetro, el carácter oscilatorio del modo y sus propiedades de caída. No tienes que empezar a hablar de números complejos y puedes mantener ambos parámetros separados, pero siempre es así con los números complejos. Tienes dos números reales,$\omega_0$y$\gamma$, tal que su solución se comporta como

El uso de frecuencias complejas en física es bastante común, así que lo explicaré en un contexto general. Probablemente será suficiente, de lo contrario, alguien más puede ponerlo en el contexto de la relatividad general. Si consideras un modo de frecuencia$\omega = \omega_R + i\omega_I$entonces la oscilación tiene una dependencia del tiempo como$\exp(-i\omega t) = \exp(-i\omega_R t) \times\exp(\omega_I t)$el primer factor describe el movimiento periódico y el segundo factor el amortiguamiento o el crecimiento de este movimiento periódico. Así que si$\omega_I>0$, el movimiento periódico crecerá exponencialmente, es decir, este movimiento será inestable, mientras que si$\omega_I<0$, el movimiento periódico se amortiguará exponencialmente o, dicho de otro modo, el movimiento decaerá. Se puede ver que este crecimiento o decaimiento del movimiento está relacionado con la parte imaginaria de$\omega$. A menudo$\omega_I$se escribe como$\omega_I=1/\tau$dónde$\tau$representa el tiempo de crecimiento o amortiguamiento. El signo negativo en el exponente \exp(-i \omega t) es pura convención, si se cambia, la definición de crecimiento y amortiguamiento también cambia de signo. Este fenómeno ya se puede estudiar en una oscilación amortiguada o una oscilación excitada, por ejemplo, un resorte sumergido en un líquido viscoso, el movimiento se describirá como un producto del movimiento periódico.$\sin(\omega t)$y$\exp(\omega_I t)$,$\omega_I<0$si todavía es difícil de entender, solo trace una curva en un programa de gráficos: una vez solo un$\sin(\omega t)$y luego$\sin(\omega t)\exp(t/\tau)$con$\tau <0$y una vez con$\tau>0$.

Esta es la continuación de mi comentario: cada cantidad (real) en el dominio del tiempo se puede escribir como

Para garantizar la propiedad de la realidad de$A(t)$,$a(\omega)$que en general toma valores complejos tiene que cumplir$a^{\star}(\omega) =a(\omega^{\star})$donde nuevamente entran las frecuencias complejas. Por lo tanto, el cálculo en un plano complejo es bastante conveniente siempre que se respeten algunas reglas.