Al demostrar que tres puntos complejos forman un triángulo equilátero

Estoy pidiendo más aclaraciones sobre dos formas presentadas para el siguiente problema. El problema:

Dados tres números complejos z 1 , z 2 , z 3 , demuestre que los puntos z 1 , z 2 , z 3 son vértices de un triángulo equilátero en C si y si z 1 2 + z 2 2 + z 3 2 = z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3

La primera forma es la proporcionada por @mathlove: https://math.stackexchange.com/a/953144/820472 . Aquí me gustaría saber por qué z 1 , z 2 , z 3 siendo tres vértices de un triángulo equilátero son equivalentes con i.) z 3 − z 1 z 2 − z 1 ii.) porque ⁡ ( ± 60 ∘ ) + i pecado ⁡ ( ± 60 ∘ )

La segunda forma la da @311411 https://math.stackexchange.com/a/4150859/820472 , donde me gustaría saber

1.) a qué ζ s representan. Es decir, cómo se manifiesta la invariancia rotacional de la propiedad equilátera en

( ( z j + ζ ) − ( z k + ζ ) ) 2 = ( z j − z k ) 2 .

2.) ¿Por qué las soluciones de las cuadráticas terminan la prueba, es decir, cuál es su significado para la propiedad equilátera?

Respuestas (1)

El autor quería mostrar que la expresión

(1) ( z 1 − z 2 ) 2 + ( z 2 − z 3 ) 2 + ( z 3 − z 1 ) 2 = 0
es tanto invariante de traslación como invariante de rotación.

Consideremos primero la invariante de traslación . Lo que significa es que si cambiamos cada punto en el plano complejo por un vector fijo ζ , entonces tampoco cambia la expresión (dada arriba). Esto significa que si z i ↦ z i + ζ y así sucesivamente, entonces también (1) no cambiará. Entonces ζ puede ser cualquier número complejo (fijo). Y ( ( z j + ζ ) − ( z k + ζ ) ) 2 = ( z j − z k ) 2 es para invariancia traslacional no rotacional.

Para la invariancia rotacional queremos ver qué sucederá si rotamos cada punto en C por un ángulo θ en el sentido contrario a las agujas del reloj, es decir, lo que sucede cuando z k ↦ z k ⋅ mi i θ (Tenga en cuenta que la multiplicación por mi i θ hace que el vector representado por z k ser rotado por un ángulo θ ). Como muestra el autor ( z j mi i θ − z k mi i θ ) 2 = mi i 2 θ ( z j − z k ) 2 , por lo que cada término en (1) tendrá el mismo factor mi 2 i θ por lo que se cancelará y, por lo tanto, la expresión también será invariante bajo rotación.

Una vez que hemos establecido que la expresión (1) es invariante tanto en rotación como en traslación, entonces sin pérdida de generalidad podemos trabajar con valores de z 1 , z 2 , z 3 que satisfacen (1) pero también son convenientes de usar. Así que con eso el autor eligió z 1 = 0 y z 2 estar en el eje real positivo (porque podemos trasladar y rotar el segmento z 1 z 2 tal que z 1 llega al origen y z 2 puede estar en el eje real positivo y aún así nuestra expresión (1) permanecerá intacto). Con z 1 = 0 y z 2 = ξ > 0 podemos encontrar z 3 resolviendo la cuadrática z 3 2 − z 3 ξ + ξ 2 = 0 . De esto obtenemos z 3 = ξ mi i ± π 3 (nota: esto es simplemente rotar z 2 = ξ por 60 ∘ en sentido horario o antihorario).

Ahora te das cuenta de que estos puntos son los vértices de un triángulo equilátero, entonces eso significa nuestro general z 1 , z 2 , z 3 que satisfacen (1) también estará formando un triángulo equilátero.

Como nota al margen, la invariancia a la traslación es suficiente para completar la prueba, ya que significa que podemos trasladar el triángulo para que su centroide se mueva hacia el origen, en otras palabras, podemos suponer WLOG que z 1 + z 2 + z 3 = 0 . Entonces z 1 2 + z 2 2 + z 3 2 = z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 ⟹ z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 = 0 entonces z 1 , z 2 , z 3 son las raíces de una ecuación de la forma z 3 + C = 0 para algunos C ∈ C .
Al demostrar que tres puntos complejos forman un triángulo equilátero
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