limz→z0p(z)q(z)limz→z0p(z)q(z)\lim_{z\to z_0} \frac{p(z)}{q(z)} donde ppp y qqq son polinomios complejos.

Pista

Suponer$p(z)=(z-z_0)^\alpha \ a(z)$y$q(z)=(z-z_0)^\beta \ b(z)$dónde$a(z_0),b(z_0)$son distintos de cero. Entonces el límite existe iff$\alpha \geq \beta$

Explicación

$$\lim\limits_{z\rightarrow z_0} \frac{p(z)}{q(z)} \ = \ \lim\limits_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)^{\alpha-\beta}\lim\limits_{z\rightarrow z_0}\frac{a(z)}{b(z)} \ = \ \lim\limits_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)^{\alpha-\beta}\frac{a(z_0)}{b(z_0)}$$ El último límite existe iff $\alpha\geq \beta$.

Nota

Aquí$\alpha$y$\beta$son enteros no negativos. Si$p(z_0)\neq 0$entonces tomamos$\alpha=0$. Si$p(z_0) = 0$entonces tomamos el mayor entero$\alpha$tal que$(z-z_0)^\alpha$divide$p(z)$o equivalente$\frac{p(z)}{(z-z_0)^\alpha}$es un polinomio.

Esta es la factorización habitual para polinomios.

Puedes usar la división euclidiana para encontrar el máximo común divisor$d(z)$de$p(z)$y$q(z)$. esto te da$p(z)=r(z)d(z)$y$q(z)=s(z)d(z)$dónde$r$y$s$no tienen raíces en común. Entonces

$$\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{p(z)}{q(z)} =\lim_{z\rightarrow z_0} \frac{r(z)}{s(z)}$$ es infinito precisamente cuando $s(z_0)=0$.