Dificultad para garantizar que el sistema tenga una solución

Estoy tratando de encontrar un a st el sistema

X 2 + y 2 + 2 X ≤ 1 y = X + a
tiene una solución única. Entonces quiero encontrar esta solución.

Así que está claro que la línea y = X + a debe ser tangente a la circunferencia ( X + 1 ) 2 + y 2 = 2 asegúrese de que la línea se encuentre con el círculo. Sin embargo, luché con la geometría del plano, así que opté por el cálculo.

Entonces, la derivada de la función implícita (que por geometría podemos resolver para y ) debe coincidir con la derivada de la línea y las formas deben coincidir, digamos en ( X 0 , y 0 ) .

2 X + 2 y d y d X + 2 = 0 ⇒ d y d X = X + 1 − y
Y esto debe ser igual a la pendiente de la recta tangente, 1, por lo que obtenemos
X 0 + 1 − y 0 = 1 ⇒ − y 0 = X 0 + 1
Y tambien tenemos eso y 0 = X 0 + a dándome al menos una expresión para a en términos de X 0 ,
− X 0 − a = X 0 + 1 ⇒ − 2 X 0 − 1 = a
¿Cómo termino y obtengo un valor para a? ¿Qué información me falta? También estaría bien con un enfoque más geométrico.

Respuestas (1)

Parece que no has usado el hecho de que el punto ( X 0 , y 0 ) realmente satisface la desigualdad. De hecho, dado que es el único punto de la recta que satisface la desigualdad, por continuidad la convertirá en una igualdad. Es decir, debe tener X 0 2 + y 0 2 + 2 X 0 = 1 ; entonces puedes escribir X 0 y y 0 en términos de a y resolver para a .

Alternativamente, me parece que estás haciendo que esto sea más complicado de lo que debe ser. solo reemplaza y = X + a en la desigualdad para obtener

X 2 + ( X + a ) 2 + 2 X ≤ 1
que se puede reorganizar para
2 X 2 + ( 2 a + 2 ) X + ( a 2 − 1 ) ≤ 0.

Si esto tiene una solución única, entonces 2 X 2 + ( 2 a + 2 ) X + ( a 2 − 1 ) > 0 para todos X excepto un solo X donde es 0 ; esto sucederá si el discriminante de 2 X 2 + ( 2 a + 2 ) X + ( a 2 − 1 ) es 0 . A continuación, puede simplemente resolver para a cuando el discriminante es 0 .

Esperaba estar complicando demasiado, realmente no quería expandir eso. Gracias por su respuesta
¿Puede ampliar el punto sobre el IVT?
En realidad, no es realmente el IVT, es solo continuidad: si X 0 2 + y 0 2 + 2 X 0 < 1 , luego cambiando X 0 en una pequeña cantidad (y cambiando y 0 correspondientemente) seguirá siendo menor que 1 , violando la unicidad.
O en otras palabras, ¿la expresión es un cuadrado perfecto?
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