encontrar algún punto en un segmento de línea con una razón dada

Question

encontrar algún punto en un segmento de línea con una razón dada

cálculo
Matemáticas
números complejos
análisis complejo
geometría analítica
Geometría euclidiana

usuario547800

Dejar $\sigma$ sea el segmento de recta que une los números complejos $z_1$ y $z_2$ . quiero encontrar el punto $z$ que divide $\sigma$ en la proporción $\lambda_1:\lambda_2$ .

Mi método: Si $z_1=x_1+iy_1$ , $z_2=x_2+iy_2$ y $z=x+iy$ entonces podemos escribir

(X - X_{1})^{2} + (y - y_{1})^{2} = λ_{1}^{2}, (X_{2} - X)^{2} + (y_{2} - y)^{2} = λ_{2}^{2}

$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=\lambda_1^2,\\ (x_2-x)^2+(y_2-y)^2=\lambda_2^2$

Después de algunas manipulaciones llegamos a

X_{1}^{2} + y_{1}^{2} - X_{2}^{2} - y_{2}^{2} + (2 X_{2} - 2 X_{1}) X + (2 y_{2} - 2 y_{1}) y = λ_{1}^{2} - λ_{2}^{2}

$x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2+(2x_2-2x_1)x+(2y_2-2y_1)y=\lambda_1^2-\lambda_2^2$

Intersectando esto con la línea

y - y_{2} = \frac{y_{2} - y_{1}}{X_{2} - X_{1}} (X - X_{2})

$y-y_2=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_2)$

podemos encontrar el punto $z=x+iy$ .

Mi pregunta es ¿qué otros métodos podemos usar que sean métodos de análisis más fáciles o incluso complejos? Gracias.

Delta-u

Tu primera ecuación es

| z_{1} - z |^{2} = λ_{1}^{2}

$|z_1-z|^2=\lambda_1^2$ y

| z_{2} - z |^{2} = λ_{2}^{2}

$|z_2-z|^2=\lambda_2^2$ , pero si no me equivoco quieres:

\frac{| z - z_{1} |}{| z - z_{2} |} = \frac{λ_{1}}{λ_{2}}

$\frac{|z-z_1|}{|z-z_2|}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ es decir:

| z_{1} - z |^{2} = a^{2} λ_{1}^{2}

$|z_1-z|^2=a^2 \lambda_1^2$ y

| z_{2} - z |^{2} = a^{2} λ_{2}^{2}

$|z_2-z|^2=a^2\lambda_2^2$ para algunos

a > 0

$a>0$ ?

usuario547800

@ Delta-u Sí, tienes razón. y entonces que me sugieres?

Respuestas (2)

encontrar algún punto en un segmento de línea con una razón dada

Tu primera ecuación es $|z_1-z|^2=\lambda_1^2$ y $|z_2-z|^2=\lambda_2^2$ , pero si no me equivoco quieres: $\frac{| z - z_{1} |}{| z - z_{2} |} = \frac{λ_{1}}{λ_{2}}$ $\frac{|z-z_1|}{|z-z_2|}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ es decir: $|z_1-z|^2=a^2 \lambda_1^2$ y $|z_2-z|^2=a^2\lambda_2^2$ para algunos $a>0$ ?

ubicación de trance · Answer 1

Si te entendí bien, estás buscando algo como esto:

z_{λ_{1} : λ_{2}} = \frac{λ_{1}}{λ_{1} + λ_{2}} z_{1} + \frac{λ_{2}}{λ_{1} + λ_{2}} z_{2}

$z_{\lambda_1 : \lambda_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}z_1 + \frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}z_2$

Esta es una combinación convexa de $z_1$ y $z_2$ dividiendo el segmento que conecta estos dos puntos en la razón dada.

Delta-u · Answer 2

Si ya sabes que el punto está en $\sigma$ entonces existe $t \in (0,1)$ tal que:

z = t z_{1} + (1 - t) z_{2}

$z=tz_1+(1-t)z_2$ Y tu quieres:

\frac{| z_{1} - z |}{| z_{2} - z |} = \frac{λ_{1}}{λ_{2}}

$\frac{|z_1-z|}{|z_2-z|}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ Entonces:

\frac{| z_{1} - (t z_{1} + (1 - t) z_{2}) |}{| z_{2} - (t z_{1} + (1 - t) z_{2}) |} = \frac{| (1 - t) z_{1} + (1 - t) z_{2} |}{| t z_{1} + t z_{2} |} = \frac{t}{1 - t} = \frac{λ_{1}}{λ_{2}}

$\frac{|z_1-(tz_1+(1-t)z_2)|}{|z_2-(tz_1+(1-t)z_2)|}=\frac{|(1-t)z_1+(1-t)z_2|}{|tz_1+t z_2|}=\frac{t}{1-t}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ y la solución de

\frac{t}{1 - t} = \frac{λ_{1}}{λ_{2}}

$\frac{t}{1-t}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ es decir

λ_{2} t - λ_{1} (1 - t) = 0

$\lambda_2 t-\lambda_1 (1-t)=0$ es:

t = \frac{λ_{1}}{λ_{1} + λ_{2}}

$t=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}$ entonces:

z = \frac{λ_{1}}{λ_{1} + λ_{2}} z_{1} + \frac{λ_{2}}{λ_{1} + λ_{2}} z_{2}

$z=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}z_1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}z_2$

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usuario547800

Delta-u

usuario547800

Respuestas (2)

ubicación de trance

Delta-u

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