Aplicación de transformaciones de Lorentz y dilatación del tiempo

Question

Aplicación de transformaciones de Lorentz y dilatación del tiempo

Física
dilatación del tiempo
marcos de referencia
contracción de longitud
relatividad especial
deberes-y-ejercicios

Abhishek Shetty

Mi pregunta se basa en una pregunta popular, generalmente planteada en cursos de introducción a la teoría especial de la relatividad.

Dos cohetes están en curso de colisión. El Cohete 1 viaja a una velocidad de 0,8c mientras que el Cohete 2 se mueve a una velocidad de 0,6c, ambos relativos a la Tierra. los cohetes son $2.52 \times 10^{12}m$ separados medidos por Lucy en reposo en la Tierra. Ambos cohetes miden 50 m medidos por Lucy en la Tierra.

La pregunta generalmente tiene muchas partes relacionadas con la longitud del cohete, la velocidad de los cohetes desde el marco del otro, etc. Mi problema es la pregunta sobre el tiempo que tardan los cohetes en chocar en cada marco. Hay dos métodos en los que puedo pensar.

a. Primero mida el tiempo necesario para la colisión en el marco de Lucy (llega a ser 100 minutos) y luego tome en cuenta la dilatación del tiempo y calcule el tiempo adecuado (es decir, divida por $\gamma$ ).

b. El otro enfoque es calcular la distancia en el marco de uno de los cohetes y luego calcular el tiempo de colisión usando la velocidad del otro cohete en el marco del primer cohete.

El problema es que los dos enfoques conducen a respuestas diferentes. Entonces, mi pregunta es qué método es correcto y explique por qué un enfoque funciona y el otro no.

hipnótico

"Tiempo que tomó la colisión en el marco de Lucy" ¿entre qué evento y la colisión? Siempre necesita un par de eventos para medir el tiempo entre ellos, y si elige un evento que no está en la línea de tiempo de Lucy, debe tener en cuenta la relatividad de la simultaneidad (por lo que he visto, cuando alguien está confundido sobre un problema básico en RS, el 99% de las veces su confusión tiene que ver con no tener en cuenta la relatividad de la simultaneidad).

Abhishek Shetty

Consideré el tema de la simultaneidad. Pero realmente no pude llegar a la respuesta. El único punto de partida que tenemos es el momento en que la distancia en el marco de Lucy es el número que mencioné.

hipnótico

En el marco de Lucy, puede escribir las coordenadas de dos eventos, uno en la línea de mundo de cada cohete, que son simultáneos en su marco y que tienen la separación espacial especificada. Luego, en su marco, el tiempo entre cualquier evento y la colisión es de 100 minutos. Para el cohete n.° 1, puede usar la fórmula de dilatación del tiempo para encontrar el tiempo entre el evento que eligió en la línea de tiempo del cohete n.° 1 y la colisión, ya que ambos eventos podrían medirse con un reloj en reposo en el marco del cohete 1, pero puede No lo use para el tiempo entre el evento en la línea de tiempo del cohete #2 y la colisión en el marco del #1.

hipnótico

Y nuevamente, "el tiempo que tardan los cohetes en chocar" es una pregunta sin sentido a menos que especifique qué eventos desea que transcurran en cualquier marco que esté utilizando. Si este es un problema que ha visto en un curso o texto introductorio, ¿puede citar la redacción real?

Abhishek Shetty

La frase exacta es: "Según Rocket 1, ¿cuánto tiempo tardará en chocar?" Encontré esto en una hoja de tareas del curso para la cual puedo proporcionar el enlace. La pregunta que tenía en mi curso tenía más pelusa pero en esencia era la misma. enlace

hipnótico

Bien, supongo que solo quieren decir "¿cuánto tiempo transcurriría entre el evento en la línea de tiempo del Cohete 1 que en el marco de Lucy sucedió en el momento en que los dos cohetes fueron

2.52 * 10^{12}

$2.52 * 10^{12}$ m aparte". En ese caso, puede simplemente aplicar la fórmula de dilatación del tiempo. Pero si quiere averiguar qué tan lejos estaba Rocket 2 en el marco de Rocket 1 en el momento de ese evento en la línea de tiempo de Rocket 1, no puede simplemente aplique la fórmula de contracción de longitud a

2.52 * 10^{12}

$2.52 * 10^{12}$ m, debe encontrar el evento en la línea de tiempo de Rocket 2 que es simultáneo con el evento en la línea de tiempo de Rocket 1, en el marco de Rocket 1.

Abhishek Shetty

De hecho, encontré un enlace a una página que tiene la pregunta exacta que se me planteó. enlace2

Respuestas (1)

Aplicación de transformaciones de Lorentz y dilatación del tiempo

"Tiempo que tomó la colisión en el marco de Lucy" ¿entre qué evento y la colisión? Siempre necesita un par de eventos para medir el tiempo entre ellos, y si elige un evento que no está en la línea de tiempo de Lucy, debe tener en cuenta la relatividad de la simultaneidad (por lo que he visto, cuando alguien está confundido sobre un problema básico en RS, el 99% de las veces su confusión tiene que ver con no tener en cuenta la relatividad de la simultaneidad).
Consideré el tema de la simultaneidad. Pero realmente no pude llegar a la respuesta. El único punto de partida que tenemos es el momento en que la distancia en el marco de Lucy es el número que mencioné.
En el marco de Lucy, puede escribir las coordenadas de dos eventos, uno en la línea de mundo de cada cohete, que son simultáneos en su marco y que tienen la separación espacial especificada. Luego, en su marco, el tiempo entre cualquier evento y la colisión es de 100 minutos. Para el cohete n.° 1, puede usar la fórmula de dilatación del tiempo para encontrar el tiempo entre el evento que eligió en la línea de tiempo del cohete n.° 1 y la colisión, ya que ambos eventos podrían medirse con un reloj en reposo en el marco del cohete 1, pero puede No lo use para el tiempo entre el evento en la línea de tiempo del cohete #2 y la colisión en el marco del #1.
Y nuevamente, "el tiempo que tardan los cohetes en chocar" es una pregunta sin sentido a menos que especifique qué eventos desea que transcurran en cualquier marco que esté utilizando. Si este es un problema que ha visto en un curso o texto introductorio, ¿puede citar la redacción real?
La frase exacta es: "Según Rocket 1, ¿cuánto tiempo tardará en chocar?" Encontré esto en una hoja de tareas del curso para la cual puedo proporcionar el enlace. La pregunta que tenía en mi curso tenía más pelusa pero en esencia era la misma. enlace
Bien, supongo que solo quieren decir "¿cuánto tiempo transcurriría entre el evento en la línea de tiempo del Cohete 1 que en el marco de Lucy sucedió en el momento en que los dos cohetes fueron $2.52 * 10^{12}$ m aparte". En ese caso, puede simplemente aplicar la fórmula de dilatación del tiempo. Pero si quiere averiguar qué tan lejos estaba Rocket 2 en el marco de Rocket 1 en el momento de ese evento en la línea de tiempo de Rocket 1, no puede simplemente aplique la fórmula de contracción de longitud a $2.52 * 10^{12}$ m, debe encontrar el evento en la línea de tiempo de Rocket 2 que es simultáneo con el evento en la línea de tiempo de Rocket 1, en el marco de Rocket 1.
De hecho, encontré un enlace a una página que tiene la pregunta exacta que se me planteó. enlace2

alfredo centauro · Answer 1

Entonces, mi pregunta es qué método es correcto y explique por qué un enfoque funciona y el otro no.

Para el método uno, Liz conoce la separación inicial y las velocidades individuales de los cohetes, por lo que el cálculo del tiempo de impacto es sencillo.

El problema más probable con el método dos se debe a la relatividad de la simultaneidad. Este es un punto sutil que quedará claro si dibujas un diagrama de espacio-tiempo.

No se puede aplicar la fórmula de contracción de longitud a la separación inicial en el marco de Liz. El contexto en el que se deriva el resultado de la contracción de longitud asume la longitud $L$ es constante en el tiempo.

Sin embargo, la distancia de separación cambia con el tiempo y, por tanto, debido a la relatividad de la simultaneidad, esto debe tenerse en cuenta.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Si $d_0$ es la distancia inicial entre los cohetes según Liz, entonces la distancia inicial según Rocket 1 es

d_{0}^{'} = \frac{d_{0} \sqrt{1 - (0.8)^{2}}}{1 + (0.8) (0.6)}

$d'_0 = \frac{d_0 \sqrt{1 - (0.8)^2}}{1 + (0.8)(0.6)}$

mientras que la velocidad del Cohete 2 según el Cohete 1 es

v_{2}^{'} = \frac{0.6 + 0.8}{1 + (0.8) (0.6)} C

$v'_2 = \frac{0.6 + 0.8}{1 + (0.8)(0.6)}c$

tal que el tiempo de colisión, según Rocket 1 es

Δ t^{'} = \frac{d_{0}^{'}}{v_{2}^{'}} = \frac{d_{0}}{(0.6 + 0.8) C} \sqrt{1 - (0.8)^{2}} = Δ t \sqrt{1 - (0.8)^{2}}

$\Delta t' = \frac{d'_0}{v'_2} = \frac{d_0}{(0.6 + 0.8)c}\sqrt{1 - (0.8)^2} = \Delta t \sqrt{1 - (0.8)^2}$

dónde $\Delta t$ es el momento de la colisión en el marco de Liz.

Pero este es precisamente el resultado del método uno. Entonces, los dos métodos de hecho están de acuerdo cuando el método dos se realiza correctamente.

Para resumir, aplicar ingenuamente la contracción de la longitud a la distancia de separación inicial en el marco de Liz dará una respuesta diferente al método 1. La razón de esto es que la distancia de separación no es constante en ningún marco. Por lo tanto, la fórmula de contracción de longitud no se puede aplicar.

Como mencioné anteriormente, un diagrama de espacio-tiempo aclarará esto.

ingrese la descripción de la imagen aquí

¿Puedes explicar cómo encontraste la distancia con respecto al cohete 1? ¿Principalmente cómo surgió el factor denominador? Obtengo que la longitud a medida que pasa el tiempo será diferente, por lo que no puedo usar la contracción de la longitud para encontrar la longitud del cohete. Pero si puede modificar la respuesta para otras personas y mostrar la prueba de cómo obtener el factor del denominador de la longitud del cohete A, sería de gran ayuda para mí y para los demás también.

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Respuestas (1)

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