¿Por qué el tiempo adecuado y la duración adecuada no están definidos en el mismo marco de referencia?

No hay contradicción. De su cita:

La longitud adecuada de un objeto es la longitud del objeto en el marco en el que el objeto está en reposo.

y

El tiempo adecuado entre dos eventos, como el evento de emisión de luz en el vehículo y el evento de recepción de luz en el vehículo, es el tiempo entre los dos eventos en un cuadro donde los eventos ocurren en el mismo lugar.

Obviamente, el marco de reposo de un objeto es un marco donde todos los eventos que lo involucran están sucediendo en el mismo lugar.

Por lo tanto, la longitud adecuada y el tiempo adecuado se definen aquí en el mismo marco de referencia: el del objeto en reposo.

Sin embargo , debe tener en cuenta que esta no es la "mejor" definición de tiempo adecuado . Dada la métrica de Minkowski

$$g_{\mu\nu} \mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu = \mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}t^2 - \frac{1}{c^2}\mathrm{d}\vec x^2$$ uno define la longitud adecuada de un observador que viaja a lo largo de una línea de mundo $\gamma : [t_0,t_1]\to\mathbb{R}^4$como la integral del elemento de longitud infinitesimal $\mathrm{d}s$a lo largo de él: $$\tau = \int_\gamma \mathrm{d}s = \int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}\gamma^0}{\mathrm{d}t}\right)^2 - \frac{1}{c^2} \sum_{i=1}^3 \left(\frac{\mathrm{d}\gamma^i}{\mathrm{d}t}\right)^2}\mathrm{d}t$$ lo que concuerda con la definición anterior en el marco de descanso porque la línea de tiempo de un observador en su propio marco es solo $\gamma(t) = (t,0,0,0)^T$, pero tiene la ventaja de ser manifiestamente invariante de Lorentz: esto muestra que todos los observadores estarán de acuerdo en cuál será el momento adecuado para cualquier otro observador que vean.

El tiempo propio es una propiedad geométrica del espacio-tiempo: multiplicado por c es simplemente "longitud" de una parte de una línea de mundo de la partícula; "una propiedad geométrica" ​​significa independencia del sistema de coordenadas (como en el espacio euclidiano, la longitud de la curva es independiente del sistema de coordenadas). Sin embargo, la geometría del espacio-tiempo es diferente a la euclidiana: la "longitud" en el espacio-tiempo significa pseudo-longitud (es decir, puede ser igual a cero para puntos no idénticos, como para la línea de universo de un fotón). ¡ACuriousMind♦ lo explicó al estilo de CuriousMindnes!

En el espacio-tiempo de la relatividad general (o en cualquier otro$n$-variedad pseudo-riemanniana dimensional) la longitud de la curva es

$$L(\gamma )=\int_{\gamma} ds = \int \limits _{t_0}^{t_1}{\sqrt {{\Bigg |}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t)){\frac {d\gamma ^{i}(t)}{dt}}{\frac {d\gamma ^{j}(t)}{dt}}{\Bigg |}}}\,\, dt$$

dónde$g_{ij}(\gamma (t))$- tensor métrico calculado en el punto$\gamma (t), t\in \langle t_0, t_1\rangle$. Finalmente,

$$\tau=\frac{L(\gamma )}{c}$$ es el tiempo propio de una partícula que se mueve a lo largo de la curva (el tiempo se puede medir con el reloj de la partícula, pero la longitud no se puede medir con una barra métrica sólida, como en el espacio euclidiano).

Una cantidad o relación geométrica que se denomina "propia" puede entenderse como "refiriéndose a aquellos participantes que están (directa, intrínsecamente) caracterizados".

En consecuencia podemos considerar por ejemplo

• la "longitud propia de un tren dado", como la distancia de sus dos extremos ("punta de la locomotora,$A$" y " ETD ,$B$") entre sí, siempre que hayan permanecido en reposo entre sí,

• la "longitud propia de una determinada sección de vía", como la distancia de sus dos extremos (por ejemplo, las dos traviesas de ferrocarril correspondientes ,$J$y$K$) entre sí, siempre que hayan permanecido en reposo entre sí,

• el "momento adecuado" (más bien: duración) de la punta de la locomotora$A$, de$A$indicación de haber pasado por$J$hasta$A$indicación de haber pasado por$K$(si$A$de hecho había sido pasado por traviesas de ferrocarril$J$y$K$, en ese orden), y

• el "tiempo adecuado" (duración) de la traviesa$J$, de$J$indicación de haber pasado por$A$hasta$J$indicación de simultáneo a traviesa de ferrocarril$K$indicación de haber pasado por$A$(proporcionó$J$y$K$de hecho, permanecieron en reposo entre sí, por lo que pudieron determinar qué indicación de uno había sido simultánea a qué indicación del otro).

Surge una justificación y una ocasión para enfatizar cantidades y relaciones "adecuadas" porque en algunas presentaciones de la teoría de la relatividad ciertas cantidades y relaciones se atribuyen de hecho "extrínsecamente" y, por lo tanto, "impropiamente"; por ejemplo

• llamando a la distancia entre cierto par de traviesas (que es perfectamente "propia" por sí misma, en este sentido) también "longitud (impropia) del tren en movimiento" (en distinción a su propia longitud propia), o

• al atribuir alguna duración determinada por las traviesas ferroviarias indebidamente a (partes de) el juicio; o simplemente por no distinguir cuidadosamente la duración de la vía ocupada por un tren (en movimiento), de la duración del viaje del tren (en sí).

ps
Algunas notas sobre la relación entre duraciones "$\Delta \tau$" de participantes e intervalos "$s^2$" entre pares de eventos:

Considerando dos eventos que son "temporales" relacionados entre sí, es decir, tales que hay al menos un participante que tomó parte primero en uno y luego en el otro evento, entonces la magnitud del intervalo entre estos dos eventos,$\sqrt{-s^2}$(es decir, usando la convención de signos de Wikipedia ) está dada por la duración del (o cualquier) participante que se movió uniformemente (sin aceleración, inercialmente) entre estos eventos; que (con la convención indicada) es la de mayor duración, desde la indicación de haber participado en uno de estos dos eventos hasta la indicación de haber participado en el otro, de todos los participantes aplicables.

A su vez, en la medida en que la trayectoria de un participante pueda aproximarse por tramos mediante secciones de movimiento uniforme, la duración de este participante desde su indicación de haber participado en un evento hasta su indicación de haber participado en otro evento puede expresarse (aproximadamente) como una suma de magnitudes de intervalo sobre partes adecuadas del camino; y, en el límite de describir el camino por cada vez más eventos adicionales "en el camino", con partes cada vez más pequeñas entre eventos sucesivos (en comparación con la magnitud del intervalo entre los dos extremos del camino), como una integral.

Finalmente, debe enfatizarse que todas estas determinaciones son, por supuesto, independientes de cualquier (posible, opcional) asignación de coordenadas a eventos y/oa participantes y sus indicaciones.