Aceleración de objetos con velocidades comparables a ccc. ¿Podemos encontrar la aceleración del marco al tratar vvv en 1/1−v2/c2−−−−−−−−√1/1−v2/c21/\sqrt{1-v^2/c^2} como variable ?

Primero, un comentario de que no necesita GR para problemas como este: SR está bien para cualquier tipo de movimiento acelerado en un espacio-tiempo plano.

Imagine el movimiento como una secuencia de impulsos. Piénsalo al principio discretamente. En cada paso, el objeto sufre el mismo impulso: hagámoslo pequeño de velocidad relativa$\Delta v$, con una matriz de refuerzo$\Lambda(\Delta v)$. Así que después$n$de estos impulsos, podemos ver que el impulso general es de la forma$\Lambda(\Delta v)^n$; dejamos que$\Delta v\to 0$y$n$volverse muy grande y, por lo tanto, nuestra matriz de impulso general después de$n$pasos parece$\exp(n \Delta\eta)$, donde "calibras"$\Delta\eta$para la aceleración correcta. Escrito en su totalidad, nuestro impulso general es:

$$\exp(n \Delta\eta) = \left(\begin{array}{cc}\cosh(n \Delta\eta)&\sinh(n \Delta\eta)\\\sinh(n \Delta\eta)& \cosh(n \Delta\eta)\end{array}\right)$$

Ahora suponga que la partícula acelerada hace lo mismo$\Delta v$impulsar después de cada$\Delta t$segundos de su tiempo. Cada$\Delta t$de su tiempo es$\Delta t \gamma=\Delta t \cosh(n \Delta\eta)$de "nuestro" tiempo: siendo nosotros los observadores observando el objeto que acelera uniformemente y calculando su velocidad. El tiempo total de nuestro reloj después de$n$pasos es por lo tanto proporcional a$\sinh(n\,\Delta \eta) = \int_0^{n\,\Delta\eta}\cosh(u)\,\mathrm{d}u$. De este modo:

$$t = k\,\sinh(n\,\Delta \eta)=\frac{k\,v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

(utilizando la relación$v/c = \tanh(n\,\Delta\eta)$) y al reordenar obtenemos:

$$v=\frac{c\, t}{\sqrt{c^2 k^2+t^2}}$$

que para tiempos pequeños es$v = t/k$, entonces mira eso$k$es el recíproco de la aceleración. La curva que trazas es, por lo tanto, como tu curva (A), que conoces desde el principio de todos modos, ya que sabes que a bajas velocidades tiene que parecerse a una aceleración uniforme no relativista, es decir, debe aproximarse a una relación lineal . Así que vamos a escribirlo en términos de la aceleración$a$; es:

$$v=\frac{a\, t}{\sqrt{1+a^2\,\frac{t^2}{c^2}}}$$

Este$a$es la "gravedad" constante que sentiría el viajero espacial en el vehículo acelerado: se sentiría exactamente como si estuviera parado en la Tierra si$a=g$. Por cierto, funciona casi exactamente$2\,c/3$si aceleras en$1\,g$durante un año (hora terrestre).

Este problema se trata con más detalle en la sección 6.2 de Misner, Thorne y Wheeler, "Gravitation". John Baez explora este problema (aunque también cita la misma fuente de MTW) en relación con nuestra capacidad para explorar el espacio en su Relativistic Rocket Page . El tratamiento de Misner Thorne y Wheeler es más general que el mío, pero lo anterior es un razonamiento simple de principios básicos. Le aconsejo que busque y aprenda sobre cuatro velocidades y aceleraciones, si aún no las ha estudiado.