¿Por qué la resta de velocidad relativista produce una velocidad relativa mayor que la clásica?

Si los dos se mueven en la misma dirección, estás dividiendo el resultado clásico por un número menor que uno:$1-v_1v_2/c^2$, por lo que el resultado siempre será mayor que el clásico. Si se movieran en direcciones opuestas, entonces el signo cambia y estás dividiendo por un número mayor que uno, y así obtendrás un resultado menor que el clásico.

Ambos resultados son intuitivos. Imagina que ambos se mueven en la misma dirección cerca de c. Clásicamente, la diferencia para usted será muy pequeña (digamos 0.00000001c), pero podrían moverse entre sí a una velocidad cercana a c. Si, en cambio, se mueven en direcciones opuestas, a velocidades cercanas a c, el resultado clásico estará más cerca de 2c, pero no pueden verse moviéndose a una velocidad mayor que c, por lo que el resultado será menor que el clásico.

Mi suposición es que el problema está invertido con respecto a los problemas que ha visto, donde los problemas que ha visto se ven así:

“Alice ve a Bob moverse a gran velocidad$u~\hat x$y Bob ve a Carol moverse a gran velocidad$v~\hat x$, ¿Qué tan rápido ve Alice moverse a Carol?

La respuesta aquí es construir la línea universal en el marco de referencia de Bob,$\text{Carol}=\{(ct, vt)_{\text{Bob}}, \text{ for all } t\}$, luego impulsarlo por velocidad$-u\hat x$en el marco de referencia de Alice y tome la proporción de los componentes de espacio y tiempo (porque la línea del mundo todavía pasa por$(0,0)$), dando

$$v_{\text{Alice}}= c~\frac{\gamma_u~(vt+\beta_uct)}{\gamma_u~(ct+\beta_uvt)}=\frac{v+u}{1+uv/c^2}.$$

Pero ahora te enfrentas al problema,

“Alice ve a Bob moverse a gran velocidad$u~\hat x$y Carol se mueven a gran velocidad$v~\hat x$, ¿qué tan rápido ve Bob que se mueve Carol?

Resolver este problema es idéntico porque en el problema anterior, Bob también vio a Alice moviéndose con velocidad.$-u\hat x,$por lo que tiene una descripción completa del cálculo anterior precisamente en este formato, solo que los nombres son diferentes. Si vuelve a realizar la derivación, verá que la única diferencia es que está impulsando por velocidad$+u\hat x$de ahí el inicio de sesión$u$ha cambiado para darte,

$$v_{\text{Bob}}= c~\frac{\gamma_u~(vt-\beta_uct)}{\gamma_u~(ct-\beta_uvt)}=\frac{v-u}{1-uv/c^2}.$$

Una vez que obtienes eso, no es demasiado difícil ver que si una velocidad (Carol vista por Alice) es más lenta (que Carol vista por Bob) y las direcciones siguen siendo las mismas, entonces la otra velocidad (Carol vista por Bob) debe ser mayor (que Carol vista por Alice). Son los mismos números vistos de dos maneras diferentes.

No veo cómo podría obtener .25c con la adición de velocidad. Claramente, obtuviste eso restando .5 de .75. Tenemos que .4c "plus".5c es .75c, que es menos de lo que obtendríamos con la suma clásica. Si la suma relativista de$v_1$y$v_2$da$v_3$, y$v_3$es menos que$v_1+v_2$, entonces resta claramente relativista de$v_2$de$v_3$tiene que dar algo más que$v_3-v_2$. Con suerte, eso es razonablemente intuitivo: la resta es lo opuesto a la suma, por lo que el efecto es opuesto. Si sumamos una velocidad y luego la restamos, deberíamos terminar con la velocidad con la que comenzamos. Pero si tanto la suma como la resta hacen que las velocidades sean más pequeñas, entonces terminaríamos con una velocidad más pequeña que la que comenzamos (por ejemplo, si sumamos$v$a$u$, terminamos con algo menos que$u+v$. Si luego restamos$v$a partir de eso, según tu forma de pensar, obtendríamos algo más pequeño (algo más pequeño que u+v)-v, que sería más pequeño que u). Si$add(u+v)<u+v$para todos$u$,$v$, entonces$subtract(u,v)$debe ser mayor que$u-v$. Eso es porque, por definición,$add(v+subtract(u,v))$es igual a$u$(si restas un número, luego lo vuelves a sumar, terminas con el número con el que comenzaste), así que si tenemos$add(v+subtract(u,v))<v+subtract(u,v)$, entonces podemos sustituir$u$En para$add(v+subtract(u,v))$y obten$u<v+subtract(u,v)$, o$u-v<subtract(u,v)$, o$subtract(u,v)>u-v$.

Entonces, cuando sumas dos velocidades, obtienes un número menor que la suma clásica, y cuando restas dos velocidades, obtienes un número mayor que la diferencia clásica. Una cosa con la que puedes compararlo es sumar volúmenes y el radio resultante: si tienes dos esferas y quieres una esfera con el volumen de la suma de sus volúmenes, el radio será más pequeño que la suma de los radios. Si quieres una esfera con el volumen de las diferencias de volúmenes, el radio será mayor que la diferencia de radios.

No creo que esté pidiendo que se verifiquen las matemáticas, sino por qué la respuesta tiene sentido.

Piense en los dos casos límite. Primero la fácil: tienes dos linternas apuntando en direcciones opuestas. Desde el marco de referencia de un fotón de la linterna A, los fotones de la linterna B van a la velocidad de la luz en la dirección opuesta, aunque el resultado clásico sería que viajan entre sí a 2c.

Entonces, aquí, el viaje relativista en direcciones opuestas conduce a velocidades más pequeñas que el resultado clásico.

El que te parece contrario a la intuición es este experimento mental: estás en un tren que va a 0,999 c. Súper rápido. Luego enciendes una linterna y la apuntas hacia adelante. De su marco de referencia, SABE que esos fotones tienen que viajar a la velocidad de la luz, pero que el resultado clásico sería 0.001c.

En este ejemplo, el viaje relativista en la misma dirección conduce a velocidades mayores que el resultado clásico.

La relatividad no es intuitiva, tenemos que ajustar nuestra intuición para que coincida con sus resultados. Y los escenarios simples de verificación de instintos como los dos que describí anteriormente pueden ayudar con la intuición.

Deja que una partícula$\; a\;$moviéndose uniformemente con velocidad$\;\mathbf{v}\;$con respecto a un sistema inercial$\;\mathrm S$. Una segunda partícula$\;b\;$se mueve uniformemente con velocidad$\;\mathbf{u}\;$con respecto a la partícula$\;a$. Un sistema inercial$\;\mathrm S_a\;$está unido a la partícula$\;a\;$en configuración estándar al sistema inercial$\;\mathrm S$. Para encontrar la velocidad$\;\mathbf{w}\;$de partícula$\;b\;$con respecto al sistema inercial$\;\mathrm S\;$debemos sumar los dos vectores$\;\mathbf{v},\mathbf{u}\;$adición no relativista o relativista.

$=================================================$

A. La adición no relativista$\;\mathbf{w}_{_{\rm NR}}$

Como se muestra en la Figura-01, tenemos

$$\begin{equation} \mathbf{w}_{_{\rm NR}}\boldsymbol{=}\left(\mathrm u\cos\phi\boldsymbol{+}\mathrm v \right)\mathbf{i}\boldsymbol{+}\left(\mathrm u\sin\phi\right)\mathbf{j} \tag{NR-01}\label{NR-01} \end{equation}$$ entonces $$\begin{align} \mathrm w_{_{\rm NR}}^2 & \boldsymbol{=}\mathrm u^2\boldsymbol{+}\mathrm v^2\boldsymbol{+}2\,\mathrm u\,\mathrm v \cos\!\phi\vphantom{\dfrac{\mathrm u\,\sin\!\phi}{\mathrm u\,\cos\!\phi+\mathrm v}} \tag{NR-02.1}\label{NR-02.1}\\ \tan\!\theta_{_{\rm NR}} & \boldsymbol{=}\dfrac{\mathrm u\,\sin\!\phi}{\mathrm u\,\cos\!\phi\boldsymbol{+}\mathrm v} \tag{NR-02.2}\label{NR-02.2} \end{align}$$

manteniendo el vector$\;\mathbf{v}\;$y la magnitud$\;\mathrm u = \Vert\mathbf{u}\Vert\;$constante el borde de$\;\mathbf{w}_{_{\rm NR}}\;$se mueve en un círculo completo como el ángulo$\;\phi\;$está cambiando en$\;\left[0,2\pi\right]$.

$=================================================$

B. La adición relativista$\;\mathbf{w}_{_{\rm R}}$

En este caso tenemos

$$\begin{equation} \mathbf{w}_{_{\rm R}}\boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{u}\boldsymbol{+}\left(\gamma_{\mathrm v}\boldsymbol{-}1\right)\left(\dfrac{\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v}}{\mathrm v^2}\right)\mathbf{v}\boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm v}\mathbf{v}}{\gamma_{\mathrm v}\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v}}{c^2}\right)}\,,\qquad \gamma_{\mathrm v}\boldsymbol{=}\left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\mathrm v^2}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-\frac12}} \tag{R-01}\label{R-01} \end{equation}$$ De la figura-02 $$\begin{equation} \mathbf{w}_{_{\rm R}}\boldsymbol{=}\dfrac{\left(\mathrm u\cos\phi\boldsymbol{+}\mathrm v \right)\mathbf{i}\boldsymbol{+}\left(\sqrt{1\boldsymbol{-}(\mathrm v/c)^2}\,\mathrm u\sin\phi\right)\mathbf{j}\vphantom{\dfrac12}}{\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathrm{u}\,\mathrm{v}}{c^2}\cos\phi\right)} \tag{R-02}\label{R-02} \end{equation}$$ entonces $$\begin{align} \left(\dfrac{\rm w_{_{\rm R}}}{c}\right)^{\!2}& \boldsymbol{=}1\!-\!\dfrac{\left[1\!-\!\left(\dfrac{\rm u}{c}\right)^{\!2}\right]\left[1\!-\!\left(\dfrac{\rm v}{c}\right)^{\!2}\right]}{\left(1+\dfrac{\rm u v}{c^2}\cos\phi\right)^{\!2}} \tag{R-03.1}\label{R-03.1}\\ \tan\!\theta_{_{\rm R}}& \boldsymbol{=}\sqrt{1\!-\!\left(\dfrac{\rm v}{c}\right)^{\!2}}\,\dfrac{\mathrm u\,\sin\!\phi}{\mathrm u\,\cos\!\phi+\mathrm v}=\sqrt{1\!-\!\left(\dfrac{\rm v}{c}\right)^{\!2}}\,\tan\!\theta_{_{\rm NR}} \tag{R-03.2}\label{R-03.2} \end{align}$$

manteniendo el vector$\;\mathbf{v}\;$y la magnitud$\;\mathrm u = \Vert\mathbf{u}\Vert\;$constante el borde de$\;\mathbf{w}_{_{\rm R}}\;$se mueve en una curva cerrada en forma de elipsis como el ángulo$\;\phi\;$está cambiando en$\;\left[0,2\pi\right]$.

$========================================================$

Tenga en cuenta que de la ecuación$\eqref{R-03.1}$tenemos los conocidos resultados cuando$\;\mathbf{u},\mathbf{v}\;$son colineales

$$\begin{align} \phi & \boldsymbol{=}0 \quad\boldsymbol{\Longrightarrow}\quad \cos\phi \boldsymbol{=+}1\quad\boldsymbol{\Longrightarrow}\quad \rm w_{_{\rm R}}\boldsymbol{=}\dfrac{\mathrm u \boldsymbol{+}\mathrm v }{1\boldsymbol{+}\dfrac{\rm u v}{c^2}} \tag{R-04.1}\label{R-04.1}\\ \phi & \boldsymbol{=}\pi \quad\boldsymbol{\Longrightarrow}\quad \cos\phi \boldsymbol{=-}1\quad\boldsymbol{\Longrightarrow}\quad \rm w_{_{\rm R}}\boldsymbol{=}\dfrac{\vert\mathrm u \boldsymbol{-}\mathrm v \vert}{1\boldsymbol{-}\dfrac{\rm u v}{c^2}}>\vert\mathrm u \boldsymbol{-}\mathrm v \vert \tag{R-04.2}\label{R-04.2} \end{align}$$

De$\eqref{R-04.2}$concluimos que para$\;\phi=\pi\;$la magnitud$\;\rm w_{_{\rm R}}\;$de la suma relativista resultante es mayor que la magnitud de la suma no relativista$\;\vert\mathrm u \boldsymbol{-}\mathrm v\vert\;$para cualquier valor de
$\;\rm u,v\;$menos que$\;c$.