Análisis real Integración de Riemann - Monotonicidad estricta para integrales

Dejar$h(x) =g(x) - f(x)$y luego$h$es Riemann integrable en$[a, b]$y por eso sabemos que$h$debe ser continuo en algún lugar del intervalo$[a, b]$. Dejar$h$ser continuo en algunos$c\in[a, b]$y desde$h(c) >0$hay un subintervalo$[p, q]$tal que$c\in[p, q] \subseteq[a, b]$y$h(x) >h(c) /2$para todos$x\in [p, q]$. Y desde$h$es positivo en$[a, b]$tenemos

$$\int_{a} ^{b} h(x) \, dx\geq \int_{p} ^{q} h(x) \, dx\geq (q-p) \cdot\frac{h(c)} {2}>0$$ y por lo tanto $\int_{a} ^{b} f(x) \, dx<\int_{a} ^{b} g(x) \, dx$.

Basta con mostrar$f(x) >0$para todos$x$ $\in [a,b] \implies \int_a^b f(x) \,dx>0$.

Como ya sabes$\int_a^b f(x) \,dx\geq 0$, suponemos$\int_a^b f(x) \,dx=0$. La integral implica excepto una medida conjunto cero,$f=0$en$[a,b]$. desde$[a,b]$tiene medida positiva,$\exists x_0\in [a,b]$calle$f(x_0)=0$, obtenemos una contradicción.