Desigualdad con el poder y la condición

Tengo esto para proponer:

Dejar$a,b,c,d$sean números reales positivos tales que$abcd=1$entonces nosotros tenemos :

$$\sum_{cyc}a^{ab}\geq 4$$

Primero, definitivamente no puedo probar esto por mi cuenta, pero si alguien puede probar esto, sería muy útil demostrar esto: probar que$a^{ab}+b^{bc}+c^{cd}+d^{da} \geq \pi$. Si mi resultado es correcto además podemos tener la precisión deseada para acercarnos al mínimo. Será suficiente trabajar en las dos condiciones.$a+b+c+d=4$y$abcd=\alpha$para tener la conclusión.

Editar: primero, gracias a MartinR por subrayar mis errores, en segundo lugar, de hecho, la desigualdad funciona para algunos$\alpha$con$abcd=\alpha$y$0<\alpha$pero no sé más. Así que prefiero restringir el$\alpha$a uno .

Gracias de antemano .