Teorema del valor medio para funciones de Rn→RnRn→Rn\mathbb R^n \to \mathbb R^n

Question

Teorema del valor medio para funciones de Rn→RnRn→Rn\mathbb R^n \to \mathbb R^n

desigualdad
Matemáticas
espacios normados
análisis real
espacios vectoriales

usuario85798

Sé de la desigualdad del valor medio donde si $f$ es $C^1$ y norma de $D f$ es menos que $M$ entonces en cada punto $|f(x)-f(y)| \le M |x-y|$ pero esto no es tan útil como el teorema del valor medio. Me pregunto si hay una declaración análoga a eso en $\mathbb R$ . Si no, ¿hay un contraejemplo? En particular, me encuentro en la necesidad de demostrar que $|f(x)-f(y)| \ge M |x-y|$ Y yo sé $D f$ es mayor que $M$ en cada punto ¿Existe también una desigualdad de valor medio en esta dirección? He intentado modificar la prueba del original pero usa el Cauchy Schwarz que no funciona en la otra dirección.

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Teorema del valor medio para funciones de Rn→RnRn→Rn\mathbb R^n \to \mathbb R^n

jose carlos santos · Answer 1

No no hay. Llevar $f\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^2$ definido por $f(x)=\bigl(\cos(x),\sin(x)\bigr)$ . Entonces $(\forall x\in\mathbb{R}):\|f'(x)\|=1$ , pero $f(0)=f(2\pi)=(1,0)$ y por lo tanto $f(2\pi)-f(0)=0$ .

contraejemplosmatematicas.net · Answer 2

La "forma real" del teorema del valor medio no se cumple en general para $n \ge 2$ .

Contraejemplo: $f : \theta \mapsto (\cos \theta, \sin \theta)$ . Tienes $f(0)=f(2 \pi)$ sin embargo no hay $\theta \in \mathbb R$ con $f^\prime(\theta) = (0,0)$ .

Con respecto a tu segunda pregunta, si tienes $|f(x)-f(y)| \ge M |x-y|$ para todos $x, y$ , $f$ en uno a uno. Por lo tanto tienes una biyección de $E$ sobre $f(E)$ y se cumple la siguiente desigualdad: $\vert f^{-1}(x)-f^{-1}(y)\vert \le \frac{1}{M} \vert x - y \vert$ .

Teorema del valor medio para funciones de Rn→RnRn→Rn\mathbb R^n \to \mathbb R^n

usuario85798

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jose carlos santos

contraejemplosmatematicas.net

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Demostrar algo similar a una variante de la desigualdad de Cauchy-Shwarz

∣∣∫10ddtu(tx)dt∣∣≤∫10∑Ni=1|xi|∣∣∂u(tx)∂xi∣∣dt|∫01ddtu(tx)dt|≤∫01∑i=1N|xi| |∂u(tx)∂xi|dt\left|\int_0^1\frac d{dt}u(tx)\,dt\right|\le\int_0^1\sum_{i=1}^N|x_i |\left|\frac{\parcial u(tx)}{\parcial x_i}\right|dt para u∈C1c(RN)u∈Cc1(RN)u\in C^1_c(\Bbb{R}^N )

Prueba que si sn≤tnsn≤tns_n \leq t_n para n≥Nn≥Nn \geq N, entonces lim infn→∞sn≤lim infn→∞tnlim infn→∞sn≤lim infn→∞tn\liminf_{n \rightarrow \ infty} s_n \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} t_n

Dada una función real continua, es casi globalmente Lipschitz: