¿Amplitudes indefinidas en la Coordenada Bethe Ansatz para el modelo XXX?

Pregunta bastante específica para alguien familiarizado con la Coordenada Bethe Ansatz... Estoy considerando el modelo XXX de Heisenberg, que consiste en una cadena unidimensional de L sitios con una partícula de espín 1/2 en cada sitio y condiciones de contorno periódicas, es decir$S_{n+L}=S_n$. El hamiltoniano está dado por

$H=-\frac{J}{2} \sum_{n=1}^L S_n^+S_{n+1}^-+S_n^-S_{n+1}^+ +S_n^zS_{n+1}^z$con$J$una constante de acoplamiento.

Elegir el$z$-eje como eje de cuantización, podemos escribir$S^z = \frac{L}{2} - M$, dónde$M$es el número gira hacia abajo. Debido a la conservación de$S^z$podemos encontrar los vectores propios del hamiltoniano observando cada valor para$M$por separado.

Para$M=2$, escribe un estado como$|\psi> =\sum_{1\leq n_1< n_2\leq L}^L f(n_1,n_2) |n_1,n_2>$, dónde$|n_1,n_2>$denota el estado base donde el giro en el sitio$n_1$y$n_2$están abajo La Coordenada Bethe Ansatz para los vectores propios es

$f(n_1,n_2)=Ae^{i(k_1n_1+k_2n_2)}+Be^{i(k_2n_1+k_1n_2)}$con constantes A y B.

Aplicando el hamiltoniano a$|\psi>$, sin utilizar la Coordenada Bethe Ansatz, produce una ecuación para el valor propio, así como la siguiente condición:

$2f(n_1,n_1+1) = f(n_1,n_1) + f(n_1+1,n_1+1)$.

Ahora la pregunta: la condición anterior se derivó sin el uso de Bethe Ansatz (ver, por ejemplo, estas notas , páginas 62-63). Contiene amplitudes$f(n_1,n_1)$, que sin embargo no están definidos por la expansión general$|\psi>$pues ahi tenemos eso$n_2>n_1$! Solo insertando el Bethe Ansatz después, obtenemos las ecuaciones deseadas para resolver el espectro de$H$. ¿Podemos dar sentido a esta condición sin usar el Bethe Ansatz, es decir, por qué debería estar bien definida? Además, ¿por qué el Bethe Ansatz también tiene que aguantar para$n_2=n_1$¿aquí? Podría imaginar simplemente definiendo$f(n_1,n_1) = 0$ya que la amplitud$f(n_1,n_1)$no aparece en la expansión$|\psi>$de todos modos.

Espero que esto quede claro...