Modos cero aj∼e−κjaj∼e−κja_j\sim e^{-\kappa j} en una cadena cuántica Ising semi-infinita?

Como una forma de analizar el rendimiento del recocido cuántico, he estado estudiando la difusión cuántica en modelos de redes fermionizables con modos cero. En particular, el modelo de Ising cuántico 1+1D, semi-infinito en la dirección espacial, es el ejemplo más simple posible de un modelo de red fermionizable con un modo cero justo fuera de su fase paramagnética. Sin embargo, he tenido problemas para producir estos modos en cálculos ab initio . Tengo que el modelo de Ising cuántico semi-infinito es dual al modelo de fermión que no interactúa

H = i ∑ j ≥ 1 ( B γ 2 j − 1 γ 2 j + j γ 2 j γ 2 j + 1 ) ∈ s pag i norte ∞
Utilizando la identificación s pag i norte ∞ ≃ s o ∞ inducido por el mapa de cobertura universal, se obtiene una representación del modelo como una matriz antisimétrica H ~ , de los cuales los modos cero deben ser vectores propios que decaen espacialmente. Quizás la razón por la que no puedo encontrar estos modos es que estoy extrayendo los vectores propios de H ~ a través de un ansatz masivo, donde notamos que la cadena infinita de Ising
H ′ = i ∑ j ∈ Z ( B γ 2 j − 1 γ 2 j + j γ 2 j γ 2 j + 1 )                      
se puede resolver exactamente usando simetría traslacional y admite una descomposición del espacio propio traslacional formal. Los modos cero deberían corresponder entonces a esos vectores propios formales con un vector de onda imaginario k = i k que también satisfacen la condición de contorno de la cadena semi-infinita. Además, las restricciones de normalización garantizan una amplitud máxima en el límite de la red y una amplitud que decae exponencialmente en el interior, es decir, una forma de onda pura. Sin embargo, cuando trato de ajustar el modo a la cadena semi-infinita, la condición de contorno se reduce a
B 2 j mi k − B B − j mi − k = B 2 + j 2 − 2 j B aporrear ⁡ k
que se reduce a B = B − j mi − k , una ecuación que admite solo el modo completamente localizado k = ∞ . Me pregunto entonces, acerca de cómo obtener soluciones que decaen suavemente y, además, condiciones en el campo transversal que garanticen su existencia. ¡Sería genial tener algo de claridad precisamente donde falla mi lógica/método!

Respuestas (1)

El resultado es que se olvidó de permitir un componente complejo en el vector de onda. El hecho de que tu dispersión incluya una función trigonométrica como aporrear o porque , que solo están definidos en los ejes real e imaginario, muestra que esperaba encontrar un vector de onda puramente real o imaginario. El verdadero vector de onda del modo de baja energía no vive en ninguno de los ejes, por lo que no sorprende que no pueda encontrarlo.

¿Cómo encontramos su forma explícita? Mejor que un "ansatz a granel" es un enfoque matemático riguroso. De hecho, la extensión de Toeplitz de la teoría K nos dice que este modo de baja energía tiene energía cero porque el índice topológico de su modelo es distinto de cero e igual a uno, y porque los espectros esenciales son invariantes bajo perturbaciones por un operador compacto. Esto nos ayuda inmensamente.

Además, debería haber usado una simetría más importante de su hamiltoniano: no mezcla vectores de base de índice impar o vectores de base de índice par entre sí. Esto implica una descomposición en bloques

H = ( 0 j S L + B − j S L † − B 0 )
Dónde S L es el operador de desplazamiento a la izquierda. Siempre, siempre usa las simetrías en el problema a tu favor. Además, a partir de la fórmula para el índice analítico (debido a que todos los hamiltonianos de fermiones cuadráticos son operadores de tipo Dirac, comparten la misma fórmula de índice):
a-ind ( H ) = oscuro ⁡ ker ⁡ ( j S L + B ) − oscuro ⁡ ker ⁡ ( − j S L † − B )
El primer término es invertible, por lo que tenemos la fórmula
a-ind ( H ) = oscuro ⁡ ker ⁡ ( − j S L † − B ) = t-ind ( H ) = 1
(Recuerde que su hamiltoniano es una deformación suave del modelo de Kitaev con potencial químico cero, por lo que comparte su índice topológico, que es uno). Por lo tanto, nuestro modo cero es la única solución a esta ecuación garantizada por el cálculo del índice topológico:
S L = − B / j
Esto implica que el modo cero es un vector propio de desplazamiento a la izquierda, con valor propio negativo − B / j . Esto tiene una solución con el vector de onda.
k = registro ⁡ B / j + i π / 2
Que no se encuentra en los ejes real o imaginario, sino en el interior del plano complejo.

Modos cero aj∼e−κjaj∼e−κja_j\sim e^{-\kappa j} en una cadena cuántica Ising semi-infinita?
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