¿Cómo puedo decir si un hamiltoniano es integrable o no?

No creo que el espaciado de nivel sea "suficiente" para determinar que un sistema es "integrable" o no. (por supuesto, depende de cómo se defina la integrabilidad). La idea de separación entre niveles se denomina conjetura de Berry-Tabor, y no está probado que la distribución de Poisson sea intrínseca en el caso de la integrabilidad cuántica.

Para mí, la existencia de muchas cargas conservadas (con densidades locales o casi locales) es suficiente para la "integrabilidad cuántica". (o de manera equivalente, la existencia de la ecuación de Yang-Baxter en el sistema) Bethe Ansatz resuelve muchos sistemas como el modelo de Lieb-Liniger y la cadena XXZ de Heisenberg, mientras que otros se resuelven utilizando la simetría de Yangian, por ejemplo, el modelo Haldane-Shastry de largo alcance.

Por supuesto, si un modelo después de alguna transformación se convierte en un modelo libre, como en el caso del modelo transversal de Ising, es integrable. (La dispersión en el modelo libre es trivial e infinitamente muchas cargas conservadas con densidades locales son fáciles de construir). En general, no hay una forma a priori de determinar si un sistema cuántico que interactúa es "integrable" o no.

No se puede decidir la integrabilidad simplemente mirando la forma del hamiltoniano. Es necesario calcular los espaciados en el espectro del hamiltoniano y, dependiendo de los espaciados de nivel medio en la densidad de estados, se puede decidir la integrabilidad.