Integrabilidad del modelo generalizado de Richardson-Hubbard

Question

Integrabilidad del modelo generalizado de Richardson-Hubbard

Física
cadenas giratorias
modelos giratorios
materia Condensada
sistemas integrables
teoría cuántica de campos

Sunyam

Recientemente me interesé un poco en la posibilidad de encontrar el espectro de algunas clases interesantes de hamiltonianos de mecánica cuántica de celosía como el hamiltoniano de emparejamiento de Richardson, el hamiltoniano de Hubbard 1D, las cadenas de espín de Heisenberg 1D.

En este contexto, tengo esta pregunta, ¿es el siguiente modelo generalizado de Richardson-Hubbard hamiltoniano exactamente solucionable (factibilidad analítica de encontrar el espectro) o integrable?

\hat{H} = \sum_{X}^{} {\hat{Ψ}}_{}^{†} (X) A (X) {\hat{Ψ}}_{}^{} (X) + \sum_{X, y} {\hat{Ψ}}_{}^{†} (X) \otimes {\hat{Ψ}}_{}^{†} (X) B (X, y) {\hat{Ψ}}_{}^{} (y) \otimes {\hat{Ψ}}_{}^{} (y)

$\mathbb{\hat{H}}=\sum_{x}^{}\hat{\mathbf{\Psi}}_{}^{\dagger}(x)\mathbb{A}(x)\hat{\mathbf{\Psi}}_{}^{}(x)+\sum_{x,y}\hat{\mathbf{\Psi}}_{}^{\dagger}(x)\otimes\hat{\mathbf{\Psi}}_{}^{\dagger}(x)\mathbb{B}(x,y)\hat{\mathbf{\Psi}}_{}^{}(y)\otimes\hat{\mathbf{\Psi}}_{}^{}(y)$

dónde

Ψ (X) = {(\begin{matrix} C_{1}^{} (X) & \dots & C_{norte}^{} (X) & C_{1}^{†} (X) & \dots & C_{norte}^{†} (X) \end{matrix})}_{}^{T}

$\Psi(x)=\begin{pmatrix} c_{1}^{}(x) & \cdots & c_{n}^{}(x) & c_{1}^{\dagger}(x) & \cdots & c_{n}^{\dagger}(x)\end{pmatrix}_{}^{T}$

con $c_{k}^{\dagger}(x)/c_{k}^{}(x)$ ser operador de creación/aniquilación fermiónico para crear/aniquilar fermión de sabor $k$ en el sitio $x$ de un $1D$ celosía periódica, por ejemplo. Más $\mathbb{A}(x)$ y $\mathbb{B}(x,y)$ son complejos $n \times n$ y $n_{}^{2} \times n_{}^{2}$ matrices respectivamente. Para ser más general, aquí la restricción a la naturaleza hermítica de $\mathbb{\hat{H}}$ no se asume (por lo que es posible generalizar técnicas para abrir la configuración de sistemas cuánticos).

si como tal $\mathbb{\hat{H}}$ no es exactamente solucionable/integrable, ¿qué otras restricciones son necesarias en $\mathbb{A}(x)$ y $\mathbb{B}(x,y)$ para que este problema sea exactamente solucionable/integrable: como restringir $x,y$ en la segunda suma de la definición hamiltoniana al vecino más cercano y/o restringiendo $\mathbb{A}(x)$ y $\mathbb{B}(x,y)$ ser homogéneo (independiente de $x$ y $y$ ) y/o imponer restricciones a la estructura de $\mathbb{A}(x)$ y/o $\mathbb{B}(x,y)$ matrices y/o dimensionalidad del espacio de sabores ( $n$ ) y así sucesivamente (excluyendo límites triviales como el caso que no interactúa ( $\mathbb{B}(x,y)=\mathbb{O}_{n_{}^{2}\times n_{}^{2}}^{}$ para todos $x,y$ de celosía) y/o todos los sitios de celosía caso desacoplado ( $\mathbb{B}(x,y)=\mathbb{B}\delta_{xy}^{}$ - nota aquí que estoy teniendo pequeño $n$ caso en mente de orden al menos 4 y no superior a 6)). Un caso particular que me interesa es $\mathbb{A}(x)$ y $\mathbb{B}(x,y)$ son homogéneos y $n=4$ .

Específicamente, estoy buscando la posibilidad de ansatz de Richardson o los métodos Bethe ansatz coordinados / algebraicos / funcionales (todavía estoy tratando de descubrir los elementos básicos de Bethe ansatz algebraico, las referencias a lo largo de esta dirección también serán extremadamente útiles) para la solucionabilidad / integrabilidad exacta de $\mathbb{\hat{H}}$ .

AHusaín

Hay algunas opciones para hacer hamiltonianos integrables con Bethe ansatz algebraico. Puede probar el procedimiento de fusión para ver que la condición de vecino no es necesaria. Juegue con el uso de diferentes representaciones del grupo cuántico requerido en los diferentes sitios y verá que puede evitar la homogeneidad.

Sunyam

@AHusain Gracias por el útil comentario. Soy un poco novato en los métodos de Bethe ansatz, ¿puede sugerir alguna referencia útil en la dirección de su comentario?

AHusaín

Conferencias sobre la integrabilidad del modelo de 6 vértices

Respuestas (1)

Integrabilidad del modelo generalizado de Richardson-Hubbard

Hay algunas opciones para hacer hamiltonianos integrables con Bethe ansatz algebraico. Puede probar el procedimiento de fusión para ver que la condición de vecino no es necesaria. Juegue con el uso de diferentes representaciones del grupo cuántico requerido en los diferentes sitios y verá que puede evitar la homogeneidad.
@AHusain Gracias por el útil comentario. Soy un poco novato en los métodos de Bethe ansatz, ¿puede sugerir alguna referencia útil en la dirección de su comentario?
Conferencias sobre la integrabilidad del modelo de 6 vértices

Exhaustivo · Answer 1

Exhaustivo

Por supuesto, no hay una forma a priori de determinar si el hamiltoniano que propusiste es integrable o no.

Sin embargo, el modelo que anotó se parece a los gases Yang-Gaudin Fermi de componentes múltiples, si $\mathbb{A}(x)$ y $\mathbb{B}(x,y)$ Se eligen que todas las diferentes especies de fermiones tengan la misma masa, y la interacción entre ellos sea interacción delta con la misma fuerza. El modelo físicamente más relevante aquí es el modelo Yang-Gaudin de dos componentes, resuelto a través de la coordenada Bethe ansatz por CN Yang y Michel Gaudin casi simultáneamente. Hay un artículo de revisión reciente sobre eso: arxiv: 1310.6446 .

Sunyam

Tenía la intención de mencionar (pero no lo dije explícitamente) en la pregunta, matriz

A (x)

$\mathbb{A}(x)$ se supone que tiene escalar (opuesto a los operadores diferenciales diferenciales como entradas) y más para este caso cuando

B (x, y)

$\mathbb{B}(x,y)$ se supone que es como contacto (es decir,

B (x, y) = B δ (x, y)

$\mathbb{B}(x,y)=\mathbb{B}\delta(x,y)$ que estaba excluyendo), al menos para pequeños

n

$n$ de orden

4

$4$ , el problema es sencillo ya que se desacoplan diferentes sitios. Lo que realmente me interesa es el caso.

A (x) = A

$\mathbb{A}(x)=\mathbb{A}$ ,

B (x, y) = B

$\mathbb{B}(x,y)=\mathbb{B}$ con

n = 4

$n=4$ . ¿Algún comentario sobre este caso?

Exhaustivo

No entiendo muy bien tu configuración. Siguiendo su ejemplo, el hamiltoniano está completamente desacoplado de un sitio a otro, como mencionó. Por lo tanto, para cualquier

n

$n$ , uno solo tiene que calcular el espectro de cada sitio (el potencial químico y la interacción de Hubbard conmutan) y sumarlos. No hay necesidad de discutir sobre la integrabilidad en absoluto. Si quieres eso, es exactamente solucionable sin usar ninguna técnica como Bethe ansatz.

Sunyam

Ese fue precisamente el caso en que lo estaba excluyendo. Como dijiste, al menos para pequeños

n

$n$ de orden 4, el problema es trivial, por lo que la discusión de integrabilidad es un poco exagerada. Lo que realmente me interesa es el caso indicado en el comentario anterior (el caso en el que todos los sitios interactúan entre sí a través de un potencial generalizado de dos cuerpos, con una parte generalizada del cuerpo del hamiltoniano siendo local).

Integrabilidad del modelo generalizado de Richardson-Hubbard

Sunyam

AHusaín

Sunyam

AHusaín

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Exhaustivo

Sunyam

Exhaustivo

Sunyam

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