Derivación detallada y explicación del hamiltoniano AKLT

Permítanme tratar de responder mis propias preguntas para agradecer a quienes dieron voz y apoyo para recuperar esta pregunta. Mi referencia principal es el capítulo 3 Mecánica estadística cuántica básica de sistemas de espín del libro inconcluso "Mecánica estadística moderna" de Paul Fendley.

El estado sólido de enlace de valencia de espín 1 (VBS) en la Fig. 2 se puede imaginar de la siguiente manera:

• Cada sitio de spin-1 está formado por dos spin-1/2 en estados de triplete (que tiene s = 1)
• Cada uno de los spin-1/2 imaginados forma un estado singlete (enlace de valencia) con otro spin-1/2 del sitio vecino.

En este sentido, si nos enfocamos en dos sitios vecinos de spin-1, podemos pensarlos como 4 spin-1/2.

Dados 4 spin-1/2, la única forma de formar un spin-2 es que dos pares de spin-1/2 formen dos spin-1 respectivamente, y luego estos dos spin-1 formen un spin-2. Si cualquier par de giros en estos 4 giros-1/2 forma un enlace de valencia de giro-0, entonces estos 4 giros-1/2 ya no pueden formar una entidad de giro-2, que es el caso del estado VBS de giro-1 . Por lo tanto, si aplicamos un proyector al spin-2 en dos sitios vecinos en el VBS spin-1, obtenemos 0 (aniquila el estado). En consecuencia, la suma de dichos proyectores en cada par de sitios vecinos, que es el hamiltoniano propuesto, también aniquila el estado VBS de spin-1. En otras palabras, el estado VBS de spin-1 es un estado propio del hamiltoniano con valor propio 0.

Teniendo en cuenta el hecho de que un proyector tiene dos valores propios 0 y 1 y la suma de los proyectores tiene valores propios iguales o mayores que 0. Un valor propio de 0 significa spin-1 VBS es el estado fundamental del hamiltoniano propuesto.

Tenga en cuenta que en mi pregunta pensé$P_2$es el operador de proyección en spin-2 para el par de spin, pero esto es un error. En realidad toda la notación$P_2(\mathbf{S_i} + \mathbf{S_{i+1}})$es el operador del proyector. Personalmente, no me gusta esta notación confusa y preferiría algo como$P_{2}^{\mathbf{S_i}, \mathbf{S_{i+1}}}$o$P_{2}^{i, i+1}$, pero voy a usar$P_2$para abreviar en lo siguiente.

Ahora he respondido las primeras 3 de mis preguntas. Mi sensación es que es más un truco para obtener el hamiltoniano. El autor podría inspirarse en trabajos anteriores con el modelo de Heisenberg y el modelo de Majumdar-Ghosh, ya que ambos hamiltonianos también se pueden expresar como la suma de proyectores.

Ahora viene la última pregunta que es averiguar qué$P_2$es.$P_2$actúa en 2 sitios spin-1. Los estados propios de$X \equiv (\mathbf{S_i} + \mathbf{S_{i+1}})^2$, a saber$|0\rangle$,$|1\rangle$,$|2\rangle$, son también el estado propio de$P_2$. Para completar, enumeré los valores propios de$X$y los tres proyectores giratorios en la siguiente tabla:

| s | $X$| $P_0$| $P_1$ | $P_2$ |
|----|---|----|----|----|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 6 | 0 | 0 | 1 |

Podemos expresar el proyector como la función de$X$para que satisfaga la tabla anterior:

$$\begin{align} P_0 &= \frac{1}{12} (X-2)(X-6)\\ P_1 &= -\frac{1}{8} X(X-6)\\ P_2 &= \frac{1}{24} X(X-2) \end{align}$$

si reemplazamos$X$en la ecuación anterior con

$$\begin{align} X &= (\mathbf{S_i} + \mathbf{S_{i+1}})(\mathbf{S_i} + \mathbf{S_{i+1}})\\ &= \mathbf{S_i^2} + \mathbf{S_{i+1}^2} + 2\mathbf{S_i} \cdot \mathbf{S_{i+1}} \\ &= 4 + 2\mathbf{S_i} \cdot\mathbf{S_{i+1}} \end{align}$$

entonces obtenemos

$$P_2 = \frac{1}{6} (\mathbf{S_i} \cdot\mathbf{S_{i+1}})^2 + \frac{1}{2} \mathbf{S_i} \cdot\mathbf{S_{i+1}} + \frac{1}{3}$$