¿Ambigüedad de grano grueso en Classical Stat Mech?

Diría que esta pregunta no se trata tanto de granulado grueso como de elegir la medida correcta en el espacio de fase, digamos, la medida$dx \, dp$(igual a$r \,dr\, d\theta$en tu ejemplo) versus la medida$dr \, d\theta$. La medida que elija afectará la forma en que se convierte en grano grueso en celdas de igual volumen o, por el contrario, su elección de celdas de igual volumen afectará lo que le gustaría definir como la medida continua.

¿Qué tiene de especial la medida estándar?$dx \, dp$en el espacio de fase? Aquí hay una buena propiedad: se conserva bajo la evolución hamiltoniana (tiempo) en el espacio de fase, por el teorema de Liouville. Ahora regresemos y veamos por qué eso es relevante.

Estamos buscando la medida en el espacio de fase que nos dará el resultado correcto al calcular la función de partición en mecánica estadística. La función de partición surge al considerar el conjunto canónico. En cambio, podríamos preguntarnos, en el conjunto canónico, ¿por qué es$dx \, dp \,e^{-\beta H(x,p)}$la medida de probabilidad correcta sobre el espacio de fase? (Luego sigue la definición de la función de partición).

Mientras tanto, el conjunto canónico generalmente se deriva asumiendo que el sistema es parte de un supersistema más grande de sistema + entorno, donde el supersistema está en el conjunto microcanónico con energía fija. Entonces, para algún sistema general a energía fija, ¿qué densidad de probabilidad deberíamos elegir? Es decir, ¿cómo deberíamos definir el conjunto microcanoico? Bueno, básicamente depende de nosotros. Estamos buscando una buena descripción empírica de los sistemas de equilibrio.

Debido a que asumimos que el sistema está en equilibrio, la medida que elegimos en la capa de energía no debería cambiar bajo la evolución del tiempo. Digamos que sabemos que nuestro sistema tiene energía en alguna pequeña ventana$(E,E+\Delta E)$. Eso corresponde a una capa de energía engrosada en el espacio de fase. Solo estoy usando una capa de energía engrosada para que la capa no mida cero (infinitamente delgada) con respecto a la medida en el espacio de fase ambiental. Esta es una sutileza relacionada con la pregunta Según el teorema de Liouville, ¿por qué la medida en una superficie de energía es diferente de la medida en el espacio de fase en general ? Quiero simplificar la discusión simplemente diciendo: asumir$\Delta$es muy pequeño pero distinto de cero.

Si elegimos la medida$dx \, dp$en la capa de energía, entonces sabemos que esta medida no cambiará con la evolución del tiempo, por el teorema de Liouville. Así que es un buen candidato para nuestra medida de equilibrio. ¿Hay alguna otra medida que quede invariante por el flujo hamiltoniano? La respuesta es no, siempre que hagamos una suposición crucial: asumimos que cualquier estado en el caparazón de energía, en algún momento en el futuro, se acercará arbitrariamente a cualquier otro estado en el caparazón de energía. (Algo así como esta suposición es necesario porque si hubiera más cantidades conservadas, si ciertas regiones de la capa de energía nunca alcanzaran otras regiones bajo la evolución del tiempo, entonces el conjunto microcanónico probablemente sería un modelo pobre para empezar).

Para ver por qué hay una medida única en la capa de energía que es invariable bajo el flujo hamiltoniano, imagine alguna otra medida$f(x,p) dx \, dp$. Si esta medida es invariante bajo la evolución del tiempo, y la evolución del tiempo toma cada punto$(x,p)$en la capa de energía arbitrariamente cerca de cualquier otro punto, entonces$f(x,p)$debe ser constante.

Entonces$dx \, dp$es la medida correcta para el conjunto microcanónico. Cuando se deriva el conjunto canónico de algún sistema del conjunto microcanónico de un supersistema, la medida$dx \, dp$en el supersistema finalmente producirá la medida$dx \, dp e^{-\beta H(x,p)}$en el sistema

Toda esta discusión ha sido clásica, lo cual está bien, porque nos gustaría poder hacer mecánica estadística de forma clásica. Sin embargo, también podría preguntarse por qué esta elección de medida en el espacio de fase clásico produce resultados estadísticos cercanos a los que obtendríamos utilizando la mecánica estadística cuántica. Hay algunos enfoques diferentes a los fundamentos de la mecánica estadística cuántica, por ejemplo, https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0511225.pdf . De todos modos, creo que la característica clave de la medida$dx \, dp$Lo que hace que los resultados mecánicos estadísticos clásicos concuerden con los resultados mecánicos estadísticos cuánticos es que el número de estados cuánticos ortogonales correspondientes a alguna pequeña región del espacio de fase es aproximadamente proporcional al volumen de la región medido usando$dx \, dp$.