Intuición detrás del teorema del cúmulo vinculado: diagramas conectados frente a diagramas no conectados

Teorema del racimo enlazado$^1$

$$\ln Z~=~\frac{i}{\hbar} W_c, \tag{1}$$ dónde$Z$es la función de partición y$W_c$es el funcional generador de diagramas conexos.

Prueba. Usaremos un truco de réplica , cf. Árbitro. 1.

1. Recuerde que si una teoría consiste en$n$subteorías independientes con funciones de partición$Z_1, \ldots, Z_n$(es decir, las interacciones solo se permiten dentro de cada subteoría), entonces la función de partición para la teoría completa es el producto$Z_1 \cdots Z_n$.

2. Introducir$n$copias de la teoría original bajo investigación, donde$n\in\mathbb{N}$es un entero positivo. La función de partición de réplica se convierte en solo un poder

   $$\sum\left\{\text{all replica diagrams}\right\} ~=~Z^n,\tag{2}$$ porque diferentes copias no interactúan. cada campo$\phi^{\alpha}_{(i)}(x)$en la teoría de la réplica ahora lleva una etiqueta de copia$i\in\{1, \ldots, n\}$, y no habla con otras copias.

3. Dado un diagrama de Feynman$D$en la teoría original, las contribuciones a la réplica correspondiente del diagrama de Feynman deben multiplicarse por un factor$n^{\#(D)}$, dónde$\#(D)$denota el número de componentes conectados de$D$. En otras palabras,

   $$\begin{align} \sum & \left\{\text{all replica diagrams}\right\}\cr &~=~ 1 + n\sum\left\{\text{connected original diagrams}\right\} +{\cal O}(n^2).\end{align} \tag{3}$$ En la ec. (3) hemos normalizado implícitamente la función de partición de modo que$1$es el valor del diagrama vacío, que por definición no es conexo .

4. Ejemplo posiblemente esclarecedor. Si un diagrama original$D^2/2!$consta del mismo diagrama conexo$D$dos veces, las correspondientes contribuciones de réplica

   $$(\sum_{i=1}^n D_{(i)})^2/2!~=~ n^2 D^2/2!$$ escala como$n^2$. Aquí$2!$es un factor de simetría. El hecho de que las correspondientes contribuciones de réplica diagonal $$(\sum_{i=1}^n D_{(i)}^2)/2!~=~ n D^2/2!$$ solo báscula con una potencia más baja$n$no es relevante/importante porque se supone (implícitamente) que el RHS de eq. (3) está organizado de acuerdo con diagramas originales (en lugar de réplicas). Fin del ejemplo.

5. Ahora continuemos con la prueba. Equivalente a la ec. (3), por expansión de Taylor,

   $$\begin{align} \ln\sum &\left\{\text{all replica diagrams}\right\}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~& n\sum\left\{\text{connected original diagrams}\right\} +{\cal O}(n^2). \end{align} \tag{4}$$

6. Combinando ecs. (2) y (4) rendimiento

   $$\ln Z - \sum\left\{\text{connected original diagrams}\right\} ~\stackrel{(2)+(4)}{=}~{\cal O}(n^1) .\tag{5}$$ El LHS. de la ec. (5) es independiente de$n$, es decir, es una wrt constante.$n$. Pero desde el RHS. de la ec. (5) no tiene${\cal O}(n^0)$términos, la constante debe ser cero. (Alternativamente, podemos tratar formalmente el entero$n$como un número real, y tomar el límite$n\to 0^{+}.$) Esto produce el teorema del racimo enlazado (1).$\Box$

Consulte también esta y estas publicaciones relacionadas con Phys.SE.

Referencias:

1. XG Wen, QFT de sistemas de muchos cuerpos, (2004); pag. 143.

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$^1$NB: convencionalmente en QFT, se permite un factor de normalización multiplicativo en la función de partición$Z$, que por lo tanto corresponde a una constante aditiva en$W_c$, cf. ec. (1).

1. No
2. No que yo sepa
3. La idea es así: los diagramas representan amplitudes de transición (números complejos). La estructura del diagrama te dice cómo escribir una integral. Así que un diagrama podría ser una integral como $$\int f(x) dx.$$ Imagina si tenemos dos copias del mismo diagrama. Sigue siendo un diagrama. En ese caso tendremos algo como $$\int f(x)f(y) dx dy = \int f(x)dx \int f(y)dy.$$ He ignorado los factores de simetría.

Por otro lado, si tuviera que conectar las dos copias desconectadas con una línea, entonces tendríamos un solo diagrama conectado, y la integral no podría separarse en el producto de dos integrales, como arriba. tendríamos

Básicamente, un diagrama con muchos componentes desconectados se puede dividir en un producto de integrales, que representan diagramas conectados.

Dado que las reglas de la teoría de perturbaciones nos dicen que escribamos todos los diagramas posibles, podemos factorizar los diagramas desconectados en diagramas conectados.

Por ejemplo, si te pido que amplíes la expresión$(a+b+c+...)^n$, entonces escribirías todas las combinaciones posibles de$a,b,c,...$que contiene$n$términos e inserte los coeficientes binomiales correctos.

Entonces podríamos decir que la serie de perturbaciones es algo así como

El 1/n! prefactor básicamente resulta ser el factor de simetría correcto de las reglas de Feynman.

También se pueden separar los diagramas conectados en diagramas 1PI y obtener la serie de Dyson, así como un funcional generador de 1PI a través de una transformación de Legendre.