Mecánica estadística y promedios térmicos en μ−μ−\mu-space y Γ−Γ−\Gamma-space

La relación precisa está dada por$f(q,p,t)=\int \rho(q^N,p^N,t)\delta(q-Q)\delta(p-P)dq^Ndp^N$, dónde$Q$es el centro de masa de$q^N=(q_1,\ldots,q_N)$, y$P$es el momento total, la suma de$p^N=(p_1,\ldots,p_N)$. Con esta identificación, ambas fórmulas dan el mismo valor esperado cuando se aplican a un operador de 1 partícula.

Comentario: ¿Puedes explicar qué son el espacio Γ y el espacio μ? – knzhou

Definamos$\mu$-espacio como espacio de fase de una partícula (átomo o molécula). El espacio de fase del macrosistema ($\Gamma$-espacio) es igual a la suma de$\mu$-espacios.

El conjunto de posibles microestados puede presentarse mediante un conjunto continuo de puntos de fase. Cada punto puede moverse por sí mismo a lo largo de su propia órbita de fase que se encuentra en una superficie de energía constante (superficie ergódica). La imagen general de este movimiento posee ciertas características interesantes, que se aprecian mejor en términos de lo que llamamos función de densidad.$\rho(q,p;t)$.

Esta función se define de tal manera que en cualquier momento$t$, el número de puntos representativos en el 'elemento de volumen' ($d^{3N}\!q \;\; d^{3N}\!p$) alrededor del punto ($q,p$) del espacio de fases viene dado por el producto$\rho(q,p;t) \, d^{3N}\!q \;\; d^{3N}\!p$).

Claramente, la función de densidad$\rho(q,p;t)$simboliza la forma en que los miembros del conjunto se distribuyen en varios microestados posibles en varios instantes de tiempo.

Pregunta: ¿Cuál es la relación, si la hay, entre estos dos promedios? A veces, uno discute las propiedades estadísticas de un sistema usando el espacio μ y, a veces, usando el espacio Γ, lo que me confunde.

Ver: " Espacio Γ y Espacio μ - Dos espacios ", " El microestado en el espacio de fase " de Wikipedia , " Termodinámica moderna con mecánica estadística, por Carl S. Helrich " (Página 155), y " Termodinámica y mecánica estadística " de Wikipedia :

"En los contextos de la termodinámica y la mecánica estadística, el término espacio de fase tiene dos significados: se usa en el mismo sentido que en la mecánica clásica. Si un sistema termodinámico consta de N partículas, entonces un punto en el espacio de fase de 6N dimensiones describe la dinámica estado de cada partícula en ese sistema, ya que cada partícula está asociada con tres variables de posición y tres variables de momento. En este sentido, siempre que las partículas sean distinguibles, se dice que un punto en el espacio de fase es un microestado del sistema. ( Para partículas indistinguibles, un microestado consistirá en un conjunto de N! puntos, correspondientes a todos los intercambios posibles de las N partículas.) N suele ser del orden del número de Avogadro, por lo que describir el sistema a nivel microscópico a menudo no es práctico. al uso del espacio de fase en un sentido diferente.

El espacio de fase también puede referirse al espacio que está parametrizado por los estados macroscópicos del sistema, como presión, temperatura, etc. Por ejemplo, uno puede ver el diagrama de presión-volumen o los diagramas de entropía-temperatura como describiendo parte de esta fase. espacio. Un punto en este espacio de fases se denomina correspondientemente macroestado. Fácilmente puede haber más de un microestado con el mismo macroestado. Por ejemplo, para una temperatura fija, el sistema podría tener muchas configuraciones dinámicas a nivel microscópico. Cuando se usa en este sentido, una fase es una región del espacio de fases donde el sistema en cuestión se encuentra, por ejemplo, en fase líquida, fase sólida, etc.

Dado que hay muchos más microestados que macroestados, el espacio de fase en el primer sentido suele ser una variedad de dimensiones mucho mayores que en el segundo sentido. Claramente, se requieren muchos más parámetros para registrar cada detalle del sistema hasta la escala atómica o molecular que simplemente especificar, digamos, la temperatura o la presión del sistema".

Uno es el promedio de un sistema y el otro el promedio del conjunto .