Cada línea o círculo en CC\mathbb{C} son conjuntos de soluciones para la ecuación...

Question

Cada línea o círculo en CC\mathbb{C} son conjuntos de soluciones para la ecuación...

Matemáticas
números complejos
análisis complejo

rayo b

Aquí hay un problema de tarea de análisis complejo que no puedo entender:

Demuestre que cada línea o círculo en $\mathbb{C}$ es el conjunto solución de una ecuación de la forma $a|z|^2+\bar{w}z+w\bar{z}+b=0$ , dónde $a,b\in\mathbb{R}$ y $w,z\in\mathbb{C}$ . Por el contrario, demuestre que cada ecuación de esta forma tiene una línea, un círculo, un punto o el conjunto vacío como su conjunto solución.

Hasta ahora, he tratado de reescribir la ecuación de una recta en $\mathbb{R}^2$ como $y=mx+b$ en $\mathbb{C}$ , dónde $m$ es real y $x,b$ son complejos. Sé que una circunferencia en el plano complejo está dada por $|z-a|=r$ , dónde $a$ es el centro y $r$ es el radio.

También me di cuenta de que $\bar{w}z+w\bar{z}=2\text{Re}(\bar{w}z)$ . Simplemente no estoy seguro de cómo encajan todas estas piezas para responder a la pregunta. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

daniel pescador

Escribe la ecuación del círculo como

| z - a |^{2} = r^{2}

$\lvert z-a\rvert^2 = r^2$ . Y escribe la ecuación de la recta como

r x + s y = t

$rx + sy = t$ .

rayo b

@DanielFischer Está bien. Todavía no estoy seguro de a dónde ir desde aquí. Después de examinar la ecuación

a | z |^{2} + \bar{w} z + w \bar{z} + b = 0

$a|z|^2+\bar{w}z+w\bar{z}+b=0$ , noté que todo se reduce a números reales. ¿Cómo podría la ecuación de una línea o círculo, que involucra números complejos, ser el conjunto solución de una ecuación de valor real?

daniel pescador

Generalmente, toda ecuación compleja corresponde a dos ecuaciones reales. Aquí tenemos la situación de que una de las dos ecuaciones reales es trivial (

0 = 0

$0 = 0$ ), ya que la ecuación compleja es invariante bajo conjugación. Puedes cambiar entre la forma real y la forma compleja de la ecuación sustituyendo

z = x + i y

$z = x+iy$ (y

w = u + i v

$w = u+iv$ ), resp.

x = \frac{1}{2} (z + \bar{z}), y = \frac{1}{2 i} (z - \bar{z})

$x = \frac{1}{2}(z+\overline{z}),\; y = \frac{1}{2i}(z-\overline{z})$ . Si tomas la ecuación

| z - m |^{2} = r^{2}

$\lvert z-m\rvert^2 = r^2$ de un circulo con centro

m

$m$ y radio

r

$r$ , ¿ves cómo transformar eso en una ecuación de la forma dada?

Respuestas (3)

Cada línea o círculo en CC\mathbb{C} son conjuntos de soluciones para la ecuación...

Escribe la ecuación del círculo como $\lvert z-a\rvert^2 = r^2$ . Y escribe la ecuación de la recta como $rx + sy = t$ .
@DanielFischer Está bien. Todavía no estoy seguro de a dónde ir desde aquí. Después de examinar la ecuación $a|z|^2+\bar{w}z+w\bar{z}+b=0$ , noté que todo se reduce a números reales. ¿Cómo podría la ecuación de una línea o círculo, que involucra números complejos, ser el conjunto solución de una ecuación de valor real?
Generalmente, toda ecuación compleja corresponde a dos ecuaciones reales. Aquí tenemos la situación de que una de las dos ecuaciones reales es trivial ( $0 = 0$ ), ya que la ecuación compleja es invariante bajo conjugación. Puedes cambiar entre la forma real y la forma compleja de la ecuación sustituyendo $z = x+iy$ (y $w = u+iv$ ), resp. $x = \frac{1}{2}(z+\overline{z}),\; y = \frac{1}{2i}(z-\overline{z})$ . Si tomas la ecuación $\lvert z-m\rvert^2 = r^2$ de un circulo con centro $m$ y radio $r$ , ¿ves cómo transformar eso en una ecuación de la forma dada?

vladimir · Answer 1

Necesitas usar la propiedad de la conjugación compleja para expresar la ecuación circular

\begin{aligned} | z - z_{0} |^{2} & = r^{2} \Leftrightarrow \bar{(z - z_{0})} (z - z_{0}) = r^{2} \Leftrightarrow (\bar{z} - \bar{z_{0}}) (z - z_{0}) = r^{2} \Leftrightarrow \\ z \bar{z} - \bar{z} z_{0} - z \bar{z_{0}} + | z_{0} |^{2} = r^{2} \end{aligned}

$\begin{align} |z - z_0|^2 &= r^2 \Leftrightarrow \overline{(z - z_0)}(z-z_0) = r^2 \Leftrightarrow (\overline{z} - \overline{z_0})(z - z_0) = r^2 \Leftrightarrow \\ & z\overline{z} - \overline{z}z_0 - z\overline{z_0} + |z_0|^2 = r^2 \end{align}$

Ahora haz la sustitución $z_0 = -\frac{\overline{\alpha}}{A}$ dónde $A \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$

z \bar{z} + \bar{z} \frac{\bar{α}}{A} + z \frac{α}{A} + {| \frac{\bar{α}}{A} |}^{2} - r^{2} = 0

$z\overline{z} + \overline{z}\frac{\overline{\alpha}}{A} + z\frac{\alpha}{A} + \left|\frac{\overline{\alpha}}{A}\right|^2 - r^2 = 0$

Multiplicando la ecuación por $A$

A z \bar{z} + \bar{z α} + z α + A ({| \frac{α}{A} |}^{2} - r^{2}) = 0

$Az\overline{z} + \overline{z\alpha} + z\alpha + A\left(\left|\frac{\alpha}{A}\right|^2 - r^2\right) = 0$

y entorno $B = A\left(\left|\frac{\alpha}{A}\right|^2 - r^2\right)$ produce la forma general de la ecuación para un círculo en el plano complejo. Esta ecuación también describe líneas que pueden verse como círculos con radio infinito.

A z \bar{z} + \bar{z α} + z α + B = 0

$Az\overline{z} + \overline{z\alpha} + z\alpha + B = 0$

Cuando $A = 0$ representa una línea,

\bar{z α} + z α + B = 0

$\overline{z\alpha} + z\alpha + B = 0$

Puedes convencerte de que esta ecuación describe una línea estableciendo $z = x + iy$ y $\alpha = p + iq$ .

egreg · Answer 2

Una línea o círculo en el plano tiene una ecuación de la forma

D (X^{2} + y^{2}) + A X + B y + C = 0.

$D(x^2+y^2)+Ax+By+C=0.$ es una linea si

D = 0

$D=0$ , pero

A

$A$ y

B

$B$ ambos no son cero; es un circulo si

D \neq 0

$D\ne0$ y

A^{2} + B^{2} - 4 C D^{2} > 0

$A^2+B^2-4CD^2>0$ . Entonces, la ecuación anterior representa una línea o un círculo si

A^{2} + B^{2} - 4 C D^{2} > 0

$A^2+B^2-4CD^2>0$ . La ecuación representa un solo punto si

A^{2} + B^{2} - 4 C D^{2} = 0

$A^2+B^2-4CD^2=0$ pero

A

$A$ y

B

$B$ ambos no son cero (entonces

D \neq 0

$D\ne0$ ). Representa el conjunto vacío cuando

A^{2} + B^{2} - 4 C D^{2} < 0

$A^2+B^2-4CD^2<0$ . (Asumiré que no todos los coeficientes son cero).

Colocar $z=x+iy$ ; entonces

X = \frac{z + \bar{z}}{2}, y = \frac{z - \bar{z}}{2 i} = - i \frac{z - \bar{z}}{2}, X^{2} + y^{2} = z \bar{z} .

$x=\frac{z+\bar{z}}{2},\quad y=\frac{z-\bar{z}}{2i}=-i\frac{z-\bar{z}}{2},\quad x^2+y^2=z\bar{z}.$ Sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos

2 D z \bar{z} + A (z + \bar{z} - i B (z - \bar{z}) + 2 C = 0

$2Dz\bar{z}+A(z+\bar{z}-iB(z-\bar{z})+2C=0$ o

2 D z \bar{z} + (A - i B) z + (A + i B) \bar{z} + 2 C = 0.

$2Dz\bar{z}+(A-iB)z+(A+iB)\bar{z}+2C=0.$ Configuración

2 D = a

$2D=a$ ,

A + i B = w

$A+iB=w$ y

2 C = b

$2C=b$ obtenemos el formulario solicitado.

Lo contrario es simplemente hacer la sustitución inversa: establecer $D=a/2$ , $C=b/2$ , $A=(w+\bar{w})/2$ y $B=(w-\bar{w})/(2i)$ . También $A^2+B^2=w\bar{w}$ .

La condición para una línea/círculo dice

w \bar{w} - 4 \frac{b}{2} \frac{a^{2}}{4} > 0

$w\bar{w}-4\frac{b}{2}\frac{a^2}{4}>0$ o

2 w \bar{w} - a^{2} b > 0.

$2w\bar{w}-a^2b>0.$ Punto único cuando

2 w \bar{w} = a^{2} b \neq 0

$2w\bar{w}=a^2b\ne0$ , conjunto vacío cuando

2 w \bar{w} - a^{2} b < 0

$2w\bar{w}-a^2b<0$ .

René Schipperus · Answer 3

Las ecuaciones para círculos y rectas sobre $\mathbb{R}$ son ecuaciones cuadráticas donde el término cuadrático es de la forma $ax^2+ay^2$ . A partir de sus observaciones sobre la realidad del término lineal, se deduce la afirmación.

Cada línea o círculo en CC\mathbb{C} son conjuntos de soluciones para la ecuación...

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daniel pescador

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daniel pescador

Respuestas (3)

vladimir

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egreg

René Schipperus

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