Uso del teorema fundamental del álgebra para encontrar z0z0z_0 tal que |p(z0)|<|p(0)||p(z0)|<|p(0)||p(z_0)| < |p(0)|

Una pregunta del libro Cálculo vectorial, álgebra lineal y formas diferenciales de Hubbard: un enfoque unificado (quinta edición):

Pude encontrar fácilmente algún punto.$z_0 = i/3$(solo probando puntos), pero no estoy seguro de cómo usar su ecuación en su prueba para encontrar este punto.

Considere el polinomio$p(z) = z^8 + z^4 + z^2 + 1$dónde$z \in \mathbb{C}$, usa la construcción en la demostración del teorema fundamental del álgebra, usando la ecuación 1.6.28 para encontrar un punto$z_0$tal que$|p(z_0)| < |p(0)| = 1$.

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Aquí hay una idea aproximada de cómo prueban El teorema fundamental del álgebra en su libro:

Primero, demostraron que para cualquier polinomio mónico de grado$k > 0$con coeficientes complejos$p(z) = z^k + a_{k-1} z^{k-1} + \dots + a_0$, eso$|p(z)|$siempre tiene un mínimo global en$z_0 \in \mathbb{C}$para algunos$R>0$con$|z_0| \leq R$.

Luego para mostrar$p(z_0) = 0$, asumen en cambio$p(z_0) \neq 0$para encontrar un punto$z$tal que$|p(z)| < |p(z_0)|$, lo que llevaría a una contradicción.

Para ello, dejan$z = z_0 + u$de modo que:

$$\begin{align} p(z) &= (z_0 + u)^k + a_{k-1} (z_0 + u)^{k-1} + \dots + a_0 \\ &= u^k + b_{k-1}u^{k-1} + \dots + b_0 \\ &= q(u) \end{align}$$

donde se puede mostrar$b_0 = z_0^k + a_{k-1}z_0^{k-1} + \dots + a_0 = p(z_0) \neq 0$

si dejamos$j>0$Sea la potencia más pequeña de$q(u)$con un coeficiente distinto de cero, entonces tenemos la ecuación 1.6.28 :

$$\boxed{ q(u) = b_0 + b_j u^j + (b_{j+1} u^{j+1} + \dots + u^k) = p(z) = p(z_0 + u)}$$

notando$u$Se puede escribir como$\rho e^{i\theta}$, se puede imaginar$b_0 + b_j u^j$está viajando alrededor de un círculo con centro$b_0 = p(z_0)$. Entonces se puede demostrar que existe un$\rho$(no estoy detallando su valor aquí) tal que$|b_j|\rho^j < |b_0|$, de modo que para algunos valores de$\theta$tenemos$|b_0 + b_j u^j| < |b_0|$(es decir, visualmente será un punto en el segmento de línea entre$0$y$b_0$) y$|b_{j+1} u^{j+1} + \dots + u^k| < |b_j|\rho^j$(la distancia entre los puntos$b_0 + b_ju^j$y$b_0$). Esto lleva a la contradicción$|p(z)| = |p(z_0 + u)| < |b_0| = |p(z_0)|$, desde$|p(z_0)|$es el mínimo del módulo del polinomio$p$.

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Detallé la prueba si es necesaria (si crees que me he dejado algo fuera del libro, házmelo saber), pero ahora no estoy seguro de cómo usar la ecuación 1.6.28 (ecuación encuadrada arriba) en su prueba para encontrar este punto.$z_0$. Cualquier sugerencia o idea sería muy apreciada.