Reducción de la acción de Nambu-Goto a verdaderos grados de libertad

Aquí hay un resumen de la reducción de la acción Nambu-Goto (NG) a la formulación del cono de luz (LC) desde una perspectiva hamiltoniana:

1. El punto de partida es la formulación hamiltoniana de la cuerda NG, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. El hamiltoniano tiene la forma "multiplicadores de Lagrange por restricciones"$^1$

   $$H~:=~\int_0^{\ell}\! d\sigma~{\cal H}, \qquad {\cal H}~=~\lambda^{\alpha} \chi_{\alpha}, \qquad \alpha~\in~\{0,1\}.\tag{1}$$

2. Las dos restricciones de primera clase leen

   $$\chi_0~:=~P\cdot X^{\prime}~\approx~0, \qquad \chi_1~:=~\frac{P^2}{2T_0}+\frac{T_0}{2}(X^{\prime})^2~\approx~0.\tag{2}$$ Las dos restricciones de primera clase$\chi_{\alpha}$se originan a partir de (y generan) la invariancia de reparametrización de hoja mundial (WS) de la acción Nambu-Goto.

3. El lagrangiano hamiltoniano correspondiente se lee$^1$

   $$L_H~:=~\int_0^{\ell}\! d\sigma~{\cal L}_H, \qquad {\cal L}_H ~:=~ P\cdot \dot{X}-{\cal H} . \tag{3}$$ Las ecuaciones de Euler-Lagrange. para el hamiltoniano lagrangiano (3) son las ecuaciones de Hamilton. $$\dot{X}^{\mu}~\approx~\lambda^0X^{\mu\prime}+ \frac{\lambda^1}{T_0}P^{\mu},\qquad \dot{P}^{\mu}~\approx~\left(\lambda^0 P^{\mu}+ T_0\lambda^1 X^{\mu\prime}\right)^{\prime},\tag{4}$$ junto con las dos restricciones (2).

4. Usamos coordenadas de cono de luz (LC)

   $$X^{\pm}~:=~\frac{X^0\pm X^1}{\sqrt{2}} ,\tag{5}$$ y métrica de Minkowski $$\eta_{\mu\nu} ~dX^{\mu}~ dX^{\nu} ~=~ -(dX^0)^2 + (dX^1)^2 + (dX^{\perp})^2$$ $$~=~ -2dX^+dX^- + (dX^{\perp})^2,\tag{6}$$ en el espacio objetivo (TS). [El$\perp$el símbolo denota coordenadas transversales.]

5. Arreglamos la simetría de calibre imponiendo dos condiciones de fijación de calibre correspondientes

   $$X^+(\tau,\sigma)~=~f(p^+(\tau))\tau\qquad\text{and}\qquad P^+(\tau,\sigma)~=~p^+(\tau), \tag{7}$$ es decir, el calibre LC , donde$f>0$es alguna función positiva, generalmente considerada como una función lineal o constante. Hemos eliminado una constante multiplicativa convencional en la condición (7b) por simplicidad.

6. En la norma LC (7), la densidad lagrangiana hamiltoniana (3) se convierte en

   $${\cal L}_H ~=~P\cdot \dot{X} -\lambda^0\left\{-X^{-\prime} p^+ +\chi^{\perp}_0 \right\} -\lambda^1\chi_1$$ $$~\sim~P\cdot \dot{X} - \lambda^{0 \prime} X^- p^+ -\lambda^0\chi^{\perp}_0 -\lambda^1 \left\{-\frac{p^+ P^-}{T_0} + \chi^{\perp}_1\right\}. \tag{8}$$ El$\sim$símbolo significa aquí igual módulo términos derivados totales. También hemos introducido la notación abreviada, con suerte natural. $$\chi^{\perp}_0~:=~P^{\perp}\cdot X^{\perp\prime}, \qquad \chi^{\perp}_1~:=~\frac{(P^{\perp})^2}{2T_0}+\frac{T_0}{2}(X^{\perp\prime})^2.\tag{9}$$

7. Luego descomponer las dos coordenadas$X^-$y$P^-$en coordenadas de valor medio

   $$x^-(\tau)~:=~ \frac{1}{\ell}\int_0^{\ell}\! d\sigma~X^-(\tau,\sigma),\qquad p^-(\tau)~:=~ \frac{1}{\ell}\int_0^{\ell}\! d\sigma~P^-(\tau,\sigma),\tag{10}$$ y coordenadas $$Y^-~:=~X^- - x^-,\qquad R^-~:=~P^- - p^-,\tag{11}$$ con media cero.

8. El término cinético en el hamiltoniano lagrangiano (8) se simplifica a

   $$\int_0^{\ell}\! d\sigma~P\cdot \dot{X} ~=~\int_0^{\ell}\!d\sigma\left\{\left(-f(p^+)-\tau\frac{df(p^+)}{d\tau}\right) P^- -p^+\dot{X}^- + P^{\perp}\cdot \dot{X}^{\perp}\right\}$$ $$~=~- \ell f(p^+)p^- - \ell p^+\dot{x}^- +\int_0^{\ell}\!d\sigma~ P^{\perp}\cdot \dot{X}^{\perp}.\tag{12}$$ En la última igualdad de (12) hemos eliminado el término$\frac{df(p^+)}{d\tau}$, porque$p^+$es una constante de movimiento, ya que$x^-$es una coordenada cíclica (en el sentido hamiltoniano), cf. ec. (16) a continuación.

9. Nótese que en el Hamiltoniano Lagrangiano (8) las variables$Y^-$y$R^-$solo aparecen en un lugar cada uno dentro$X^-$y$P^-$, respectivamente. Integración terminada$Y^-$y$R^-$implica que

   $$\lambda^{0 \prime\prime}~\approx~ 0 \quad\text{and}\quad \lambda^{1 \prime}~\approx~ 0,\tag{13}$$ respectivamente. Para comprender las derivadas adicionales en la ec. (13), vea, por ejemplo , esta publicación de Phys.SE para el argumento análogo para la acción de la cadena Polyakov. Las condiciones de frontera/periodicidad pertinentes implican entonces que $$\lambda^{0 \prime}~\approx~ 0.\tag{14}$$ Así que los dos multiplicadores de Lagrange$\lambda^0$y$\lambda^1$son constantes globales.

10. Integración sobre la constante$\lambda^1$-mode impone la condición de energía LC (2b)

    $$p^- ~\approx~ \frac{T_0}{p^+\ell}\int_0^{\ell}\! d\sigma ~\chi^{\perp}_1,\qquad \chi^{\perp}_1~:=~\frac{(P^{\perp})^2}{2T_0}+\frac{T_0}{2}(X^{\perp\prime})^2.\tag{15}$$ Entonces$p^-$ya no es una variable independiente. El hamiltoniano LC dice $$H^{LC}~:=~f(p^+)\ell p^-+\lambda^0 \int_0^{\ell}\! d\sigma~\chi^{\perp}_0 ~=~\int_0^{\ell}\! d\sigma~{\cal H}^{LC}, \tag{16}$$ $${\cal H}^{LC}~:=~\lambda^0\chi^{\perp}_0 +T_0\frac{f(p^+)}{p^+} \chi^{\perp}_1.\tag{17}$$ Es tentador introducir la notación abreviada (posiblemente confusa) $$\lambda^1~:=~T_0\frac{f(p^+)}{p^+}~>~0 \tag{18}$$ en la ec. (17), de modo que el hamiltoniano LC (17) tiene superficialmente la misma forma que el hamiltoniano original (1). El$\lambda^1$en la ec. (18) no debe confundirse con el modo cero del multiplicador de Lagrange$\lambda^1$, que en esta etapa se ha integrado.

11. El lagrangiano hamiltoniano LC de calibre fijo se convierte en

    $$L^{LC}_H~=~ - \ell p^+\dot{x}^- +\int_0^{\ell}\!d\sigma~ P^{\perp}\cdot \dot{X}^{\perp} - H^{LC},\tag{19}$$ donde el LC hamiltoniano$H^{LC}$se da en la ec. (dieciséis). Las variables dinámicas restantes son las variables transversales.$X^{\perp}$y$P^{\perp}$y los modos cero$x^-$y$p^+$. Los corchetes de Poisson fundamentales distintos de cero dicen $$\{x^-, p^+\}_{PB}~=~-\frac{1}{\ell}, \qquad \{X^{\mu\perp}(\sigma), P^{\perp}_{\nu}(\sigma^{\prime})\}_{PB}~=~\delta^{\mu}_{\nu}\delta(\sigma-\sigma^{\prime}).\tag{20}$$ Esto responde a la pregunta de OP sobre los verdaderos grados de libertad. Además de eso, hay un multiplicador de Lagrange de modo cero$\lambda^0$, que se discutirá a continuación.

12. Ahora analicemos el papel del multiplicador de Lagrange de modo cero$\lambda^0$. Para la cuerda abierta con extremos libres, debemos imponer condiciones de frontera de Neumann

    $$\frac{\partial{\cal L}_H}{\partial X^{\prime}_{\mu}}~=~0\quad\text{for}\quad \sigma~\in~\{0,\ell\}, \tag{21}$$ que para la coordenada$\mu=+$implica que el modo constante$\lambda^0=0$debe desaparecer (si$p^+\neq 0$).

13. Para el resto de esta respuesta, discutiremos la cadena cerrada. Integración sobre el modo constante Multiplicador de Lagrange$\lambda^0$impone la llamada restricción/condición de coincidencia de nivel (LMC)

    $$\int_0^{\ell}\!d\sigma~\chi^{\perp}_0~\approx~0, \qquad \chi^{\perp}_0~:=~P^{\perp}\cdot X^{\perp\prime}. \tag{22}$$ Por el contrario, una integración sobre un modo de cuerda transversal particular asignaría un valor promedio (cuántico) a$\lambda^0$. Sin embargo, para mantener una imagen clásica limpia y agradable, cf. eoms (23) a continuación, preferimos posponer las integraciones sobre un modo de cadena transversal particular y el modo cero$\lambda^0$Para luego.

14. Las ecuaciones de LC Hamilton. leer

    $$\dot{X}^{\perp}~\approx~\lambda^0X^{\perp\prime}+ \frac{\lambda^1}{T_0}P^{\perp},\qquad \dot{P}^{\perp}~\approx~\lambda^0P^{\perp\prime}+ T_0\lambda^1X^{\perp\prime\prime},\tag{23}$$ dónde$\lambda^1$viene dada por la ec. (18). Eliminando los momentos transversales$P^{\perp}$rendimientos $$\ddot{X}^{\perp}-2\lambda^0 \dot{X}^{\perp\prime} + (\lambda^0+\lambda^1)(\lambda^0-\lambda^1) X^{\perp\prime\prime}~\approx~0. \tag{24}$$

15. Introduzcamos nuevas coordenadas WS

    $$\sigma^{\pm}~:=~ \sigma \pm \lambda^{\pm}\tau ~\equiv~(\sigma + \lambda^0\tau) \pm \lambda^1\tau, \qquad \lambda^{\pm}~:=~\lambda^1\pm \lambda^0, \tag{25}$$ junto con las características de la PDE (24). Las ecuaciones de LC Hamilton. (23) convertirse $$P^{\perp}~\approx~T_0(\partial_+ - \partial_-)X^{\perp},\qquad (\partial_+ - \partial_-)P^{\perp}~\approx~T_0(\partial_+ + \partial_-)^2X^{\perp}.\tag{26}$$ El eom (24) factoriza $$\partial_+\partial_-X^{\perp}~\approx~0, \tag{27}$$ siendo la solución completa la suma de un motor a la izquierda y a la derecha $$X^{\perp}~\approx~ X^{\perp}_L(\sigma^+)+X^{\perp}_R(\sigma^-). \tag{28}$$ Las condiciones de periodicidad imponen condiciones adicionales a los que se mueven a la izquierda y a la derecha, cf. referencias 1-5.

16. On-shell, el LC Hamiltonian (16) se convierte en

    $$H^{LC}~\approx~T_0\int_0^{\ell}\! d\sigma\left[\lambda^+(\partial_+X_L^{\perp})^2 + \lambda^-(\partial_-X_R^{\perp})^2 \right]$$ $$~=~T_0\int_0^{\ell}\! d\sigma\left[ \lambda^0 \left\{(\partial_+X_L^{\perp})^2-(\partial_-X_R^{\perp})^2\right\} + \lambda^1 \left\{(\partial_+X_L^{\perp}\}^2+(\partial_-X_R^{\perp})^2\right\}\right],\tag{29}$$ dónde$\lambda^1$viene dada por la ec. (18). Nótese que la dependencia implícita de$\lambda^0$en la ec. (29) siempre aparece en la combinación$\sigma + \lambda^0\tau$[debido a las nuevas coordenadas WS$\sigma^{\pm}$, cf. ec. (25)]. Dado que la cadena es$\ell$-periódico, podemos cambiar el$\sigma$-integración en LC Hamiltonian (29) para deshacerse de lo implícito$\lambda^0$-dependencia. Por lo tanto, la$\lambda^0$frente al LMC (22) es el único real$\lambda^0$-dependencia, como debe ser. Integración terminada$\lambda^0$hace cumplir la LMC (22).

17. Finalmente, volvamos a la pregunta de OP. Clásicamente, la condición ortogonal

    $$\dot{X}\cdot X^{\prime}~\approx~0,\tag{30}$$ que OP pregunta, es equivalente a elegir el modo cero$\lambda^0=0$ser cero, cf. ecuaciones (2a) y (4a). Esto es lo que sucede en la cuerda abierta. En la cadena cerrada, se supone que debemos integrar sobre$\lambda^0$. Sin embargo, podemos salirnos con la nuestra trabajando en un$\lambda^0=0$"medir" si adicionalmente imponemos la restricción de igualación de nivel (22) a mano. Este último enfoque se toma a menudo en los libros de texto de teoría de cuerdas.

Referencias:

1. B. Zwiebach, Un primer curso de teoría de cuerdas, 2ª edición, 2009.

2. J. Polchinski, Teoría de cuerdas, vol. 1, 1998.

3. R. Blumenhagen, D. Lust y S. Theisen, Conceptos básicos de la teoría de cuerdas, 2012.

4. K. Sundermeyer, Dinámica restringida, Lecture Notes in Physics 169, 1982.

5. M. Henneaux y C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, 1994.

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$^1$Aquí hay una prueba de que nuestro punto de partida en esta respuesta, el hamiltoniano lagrangiano (3), describe la cuerda NG, al menos de forma clásica. Si integramos el$P^{\mu}$momentos en el hamiltoniano lagrangiano (3), obtenemos la densidad lagrangiana$^2$

$${\cal L}~=~T_0\frac{\left(\dot{X}-\lambda^0 X^{\prime}\right)^2}{2\lambda^1} -\frac{T_0\lambda^1}{2} (X^{\prime})^2.\tag{i}$$

Integrando a continuación las variables auxiliares$\lambda^0$lleva a

$$\left. {\cal L}\right|_{\lambda_0} ~=~-\frac{T_0{\cal L}_{(1)}}{2(X^{\prime})^2\lambda^1} -\frac{T_0\lambda^1}{2}(X^{\prime})^2,\tag{ii}$$ dónde $${\cal L}_{(1)}~:=~-\det\left(\partial_{\alpha} X\cdot \partial_{\beta} X\right)_{\alpha\beta} ~=~(\dot{X}\cdot X^{\prime})^2-\dot{X}^2(X^{\prime})^2~\geq~ 0.\tag{iii}$$

Finalmente integrando

$$\lambda^1~>~0 \tag{iv}$$

luego produce la densidad estándar de NG Lagrangian

$${\cal L}_{NG}~:=~-T_0\sqrt{{\cal L}_{(1)}}. \tag{v}$$

[Hemos supuesto que la variable auxiliar$\lambda^1>0$es positivo (iv) para deshacerse de una rama raíz cuadrada negativa. Es imperativo que la rama de la raíz cuadrada negativa no esté presente. Después de la rotación de Wick, conduciría a un factor de Boltzmann inestable que crece exponencialmente (en lugar de suprimirse exponencialmente). ] Por el contrario, si transformamos Legendre la densidad lagrangiana (i), obtenemos de nuevo la densidad hamiltoniana (1), cf. mi Phys.SE aquí . Además, debemos mencionar el hecho bien conocido de que si integramos la métrica completa de WS$h_{\alpha\beta}$en la densidad lagrangiana de Polyakov

$${\cal L}_P~=~-\frac{T_0}{2} \sqrt{-h} h^{\alpha\beta} \partial_{\alpha}X \cdot\partial_{\beta}X ~=~\frac{T_0}{2} \left\{\frac{\left(h_{\sigma\sigma}\dot{X}- h_{\tau\sigma}X^{\prime}\right)^2}{\sqrt{-h}h_{\sigma\sigma}} - \frac{ \sqrt{-h}}{h_{\sigma\sigma}}(X^{\prime})^2 \right\}, \tag{vi}$$

entonces obtenemos la densidad estándar de NG Lagrange (v), cf. esta publicación Phys.SE. [Elegimos la rama para la raíz cuadrada$\sqrt{-h}$que tiene el mismo signo que$h_{\sigma\sigma}$para hacer el término cinético$\dot{X}^2$definido positivo.] A la inversa, la densidad lagrangiana de Polyakov (vi) se puede derivar de la densidad lagrangiana de Polyakov (P) De Donder-Weyl (DDW)

$$\begin{align}{\cal L}_{P,DDW}~=~&P^{\alpha} \cdot \partial_{\alpha}X +\frac{h_{\alpha\beta}P^{\alpha}\cdot P^{\beta}}{2T_0\sqrt{-h}} \cr ~=~& P^{\tau}\cdot \dot{X} +P^{\sigma}\cdot X^{\prime}+ \frac{(P^{\sigma} + \lambda^0 P^{\tau})^2}{2T_0 \lambda^1} - \frac{\lambda^1}{2T_0} (P^{\tau})^2\end{align} \tag{vii}$$

integrando los polimomentos$P^{\alpha}=(P^{\tau};P^{\sigma})$. Ver también, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí . En la segunda igualdad de la ec. (vii), hemos identificado

$$\lambda^0~=~\frac{h_{\tau\sigma}}{h_{\sigma\sigma}} ~=~-\frac{h^{\tau\sigma}}{h^{\tau\tau}},$$ $$\lambda^1~=~\frac{\sqrt{-h}}{h_{\sigma\sigma}} ~=~ \frac{-1}{\sqrt{-h}h^{\tau\tau}}~\geq~0 \quad\Leftrightarrow\quad h~:=~\det\left(h_{\alpha\beta}\right)_{\alpha\beta}~=~-\left(\lambda^1 h_{\sigma\sigma}\right)^2~\leq~0 . \tag{viii}$$

De manera similar, en la imagen lagrangiana, la densidad lagrangiana de Polyakov (vi) es igual a la densidad lagrangiana (i) bajo la identificación (viii). El punto es que solo 2 de los 3 grados de libertad en la métrica WS$h_{\alpha\beta}$entrar en la acción de Polyakov debido a la simetría de Weyl en el nivel clásico. Por lo tanto, la métrica WS$h_{\alpha\beta}$se puede reemplazar con solo 2 variables$\lambda^0$y$\lambda^1$. La correspondencia (vi)$\leftrightarrow$(i) establece una equivalencia más refinada entre las formulaciones Polyakov y Nambu-Goto Lagrangian que simplemente integrando la métrica WS completa$h_{\alpha\beta}$por la fuerza bruta.

Finalmente, si solo integramos

$$P^{\sigma}~\approx~-T_0\lambda^1X^{\prime}-\lambda^0P^{\tau}\tag{ix}$$

en la densidad Lagrangiana de Polyakov De Donder-Weyl (vii) pero mantenemos la$P^{\tau}\equiv P$variable, entonces la densidad Lagrangiana de Polyakov De Donder-Weyl (vii) se convierte en la densidad Lagrangiana de Hamilton (3), es decir, nuestro punto de partida en esta respuesta. Esto muestra que las formulaciones hamiltonianas de Nambu-Goto y Polyakov son equivalentes, cf. esta publicación Phys.SE.

$^2$La integración gaussiana sobre la variable auxiliar$\lambda^0\equiv \lambda^0_M$se ve ingenuamente inestable en la firma de Minkowski. Uno debe rotar Wick$\tau_E=i\tau_M$a la firma euclidiana para obtener una densidad lagrangiana$-{\cal L}_M={\cal L}_E>0$delimitado por abajo con$-i\lambda^0_M=\lambda^0_E\in\mathbb{R}$. En otras palabras, el producto$\lambda^0_M\tau_M=\lambda^0_E\tau_E$debe permanecer invariante bajo la rotación de Wick.