¿Son redundantes algunas representaciones irreducibles?

Soy muy nuevo en la teoría de grupos, por lo que es probable que esta pregunta sea muy obvia.

Acabo de completar una pregunta donde encontramos los irreps de D 4 , que la pregunta define como un grupo generado por las dos matrices

σ = ( 1 0 0 − 1 ) ,     ϵ = ( 0 1 − 1 0 )

Después de encontrar la tabla de caracteres, encontré que D 4 tenía 4 irrepeticiones 1D (dadas a continuación) y 1 irrepetición 2D (simplemente representada por las matrices generadas por las anteriores).

R 1 = { 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 }
R 2 = { 1 , 1 , 1 , − 1 , − 1 , − 1 , − 1 , 1 }
R 3 = { 1 , − 1 , − 1 , 1 , 1 , − 1 , − 1 , 1 }
R 4 = { 1 , − 1 , − 1 , − 1 , − 1 , 1 , 1 , 1 }
.

Mi pregunta es sobre el significado de estos 5 irreps. Me parece que el grupo puede estar completamente representado por su irrep 2D (después de todo, en mi pregunta el grupo fue definido solo por estas matrices) y que los 4 irreps 1D no brindan información adicional. Entonces, en primer lugar, ¿estoy en lo correcto en cuanto a que estas irrepeticiones 1D no brindan información adicional sobre el grupo y que está definido de manera única por su irrepetición 2D?

En segundo lugar, me confunde el vínculo entre las irreps de un grupo y la descomposición de su representación. Los Irreps a menudo se describen como los "bloques de construcción fundamentales", pero no estoy seguro de cómo interpretarlos exactamente aquí. ¿El punto es que el grupo puede ser representado por una suma directa de estos irreps, o un producto tensorial, o ninguno? Si es lo primero, todavía parece que los irreps 1D no proporcionan información nueva aquí.

(He notado que los -1 en los irreps 1D corresponden a las clases de conjugación de tamaño 2 de matrices 2D que contienen 2 matrices que son -1 × entre sí, así que tal vez hay algo de información allí?)

Para responder a su pregunta final, cada representación compleja es equivalente a una suma directa de representaciones irreducibles. Ninguno de ellos es redundante, porque esa afirmación no sería cierta si omitiera alguno de ellos.
Supongo que la mayor parte de mi pregunta se puede resumir en "¿cuál es el punto de los 4 irreps 1D aquí ya que el irreps 2D (que me parece idéntico al grupo) contiene toda la información"
Mi comentario anterior responde a tu pregunta. No tengo idea de lo que quieres decir con "contiene toda la información".
@DerekHolt, entonces es solo decir que cualquier representación más complicada que quiera representar D 4 siempre se podrá escribir como suma directa de alguna de estas 5 irrepeticiones?
Sí, exactamente, y por supuesto en la suma directa puedes repetir cualquiera de los irreducibles tantas veces como quieras.
También las representaciones irreductibles al no codificar el grupo unívocamente.
@QuantumSpace ¿En serio? Si el grupo aquí fue definido por esas matrices 2D, ¿cómo podría el irrep 2D no codificar el grupo de manera única? (¿O es solo un caso especial?)
@QuantumSpace Eso no es cierto. Los irreducibles determinan el grupo; ver aquí . ¿Quizás estás pensando en la tabla de personajes? Hay grupos no isomorfos (como q 8 y D 8 ) con la misma tabla de caracteres.
@DerekHolt y gracias, creo que estaba considerando incorrectamente el 'problema en mano'. Creo que pensé que el punto de encontrar los irreps era encontrar la "manera más simple" de representar al grupo, así que estaba confundido sobre por qué necesitarías algo más que el irrep 2D aquí. Sin embargo, creo que ahora el problema es más 'si queremos crear cualquier representación de este grupo (aunque no sea muy simple), en qué representaciones más simples se puede descomponer. ¿Es esto correcto?
@Derek Holt Sí, los irreducibles y cómo los tensas. La estructura monoide es esencial aquí.

Respuestas (1)

Aquí hay dos conceptos. La primera es en qué sentido son las representaciones irreductibles los bloques de construcción de todas las representaciones. Esto, como se menciona en los comentarios, se debe a que cada representación sobre C es isomorfo a una suma directa de representaciones irreducibles.

La segunda, a la que usted alude, es si, dada la 2 -Representación dimensional, necesitas las demás. A lo que parece estar conduciendo es a que el 2 La representación bidimensional es fiel , lo que significa que el homomorfismo al grupo de matrices es inyectivo. De hecho, el 2 -representación dimensional es fiel, y cualquier representación fiel de D 4 debe tener eso 2 -Representación dimensional como sumando. En ese sentido, no necesita las otras representaciones para definir su grupo, y las otras representaciones no se pueden usar, en el sentido de que siempre necesita la 2 -representación dimensional.

Un grupo finito tiene una representación fiel e irreducible si y solo si su centro es cíclico. Entonces para el grupo C 2 × C 2 no puedes encontrar una representación irreducible fiel, y necesitarías la suma de dos de ellos para producir una copia isomorfa de tu grupo. En general, si el centro necesita norte elementos para generarlo, se necesita norte representaciones irreductibles para ser fiel (y por supuesto, debe elegir sabiamente sus representaciones para obtener una representación fiel).

Impresionante, esto lo aclara todo. ¡Gracias!
Buena respuesta. Mencionaste, "cualquier representación fiel de 𝐷4 debe tener esa representación bidimensional como sumando". ¿Es cierto para el grupo general (finito) G que cualquier representación fiel debe tener un irrep fiel como sumando?
@xiaohuamao No. El Klein cuatro p es un ejemplo, como lo es cualquier grupo abeliano no cíclico. Es cierto si la intersección de los núcleos de todas las representaciones infieles no es trivial, como lo es para el D 8 caso.
¿Son redundantes algunas representaciones irreducibles?
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