Tensores y la ecuación de Klein-Gordon

En realidad, el$P(\mathbf{x},t)$mencionas es el componente 4,4 del tensor de estrés$T_{ik}$del campo Klein-Gordon (KG). En lo que sigue usaré el tensor métrico$\eta_{ik}=diag(1,-1,-1,-1)$e identificar$P(\mathbf{x},t)$con el componente 0,0 de$T_{ik}$. Bohm aparentemente usa la otra métrica$diag(-1,-1,-1,1)$convención. Además$c=1=\hbar$se supone.

Uno comienza mejor a partir de la densidad de Lagrange del complejo KG: (los índices de doble aparición se suman, es decir, la convención de suma de Einstein):

$$L = \partial_i \phi^\star \partial^i \phi - m^2 \phi^\star \phi$$

Para un campo complejo$\phi$y$\phi^\star$se consideran como variables independientes. La definición del tensor de tensiones viene dada por:

$$T_{ik}=\sum_{\varphi}\varphi_{,k}\frac{\partial L}{\partial \varphi^{,i}} -L\eta_{ik}$$

con$\varphi = (\phi, \phi^\star)$.

Al insertar la expresión para la densidad de Lagrange del campo KG en la definición del tensor de tensión obtenemos:

$$T_{ik} = \partial_i\phi^\star \partial_k\phi + \partial_k\phi^\star \partial_i\phi -L\eta_{ik}$$

La propiedad tensorial de$T_{ik}$es bastante obvio, ya que las derivadas parciales$\partial_i$respectivamente$\partial_k$transformarse como vectores covariantes y$\eta_{ik}$es también un tensor. Esto es particularmente cierto para el$(i,k)=(0,0)$-componente:

$$T_{00} = 2\frac{\partial\phi^\star}{\partial t}\frac{\partial\phi}{\partial t} -L=\frac{\partial\phi^\star}{\partial t}\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\phi^\star\nabla\phi + m^2\phi^\star \phi\equiv P(\mathbf{x},t)$$

El vector de 4 impulsos$P_i$rendimientos:

$$P_i = \int_{\partial\Omega} T_{ik} d\sigma^k$$

dónde$d\sigma^k$es el elemento hipersuperficial vectorial que está parametrizado por valores$(u,v,w)$:

$$d\sigma_i =\epsilon_{ijkm}\frac{\partial x^j}{\partial u}\frac{\partial x^k}{\partial v}\frac{\partial x^m}{\partial w}du dv dw$$

Si ahora la hipersuperficie$t=const$se elige, como parámetros$(u,v,w)=(x,y,z)\equiv(x^1,x^2,x^3)$puede ser usado:

$$d\sigma_i =\epsilon_{ijkm}\delta^j_1\delta^k_2\delta^m_3 dx^1 dx^2 dx^3= \epsilon_{i,1,2,3}d^3x = (d^3x,\mathbf{0})$$

entonces obtenemos para esta hipersuperficie en particular$t=const$:

$$P_i = \int_{t=const} T_{i0} d^3x$$

Se puede demostrar que$P_i$considerado en otra hipersuperficie$\partial\Omega$que se transforma en Lorentz con respecto a la hipersuperficie original$t=const$tiene el mismo valor si se calcula mediante la fórmula más general:

$$P_i = \int_{\partial\Omega} T_{ik} d\sigma^k$$

Pero debido a la forma covariante de escribir, está claro que$P_i$es un vector de 4 (pero esto ya no sería cierto en el espacio-tiempo curvo) y en particular

$$P_0 = \int_{t=const} T_{00} d^3x \equiv \int_{t=const}P(\mathbf{x},t) d^3x$$

el componente 0 del vector 4$P_i$(el vector de impulso 4), la energía del campo KG.