¿De dónde se originan las funciones de onda de partículas y antipartículas en la ecuación de Klein Gordon?

Question

¿De dónde se originan las funciones de onda de partículas y antipartículas en la ecuación de Klein Gordon?

Física
antimateria
mecánica cuántica
relatividad especial
ecuación de klein-gordon

cameron

En mi libro de texto (Sakurai) se da que

(D_{m} D^{m} + {metro}^{2}) Ψ (X, t) = 0

$\left(D_\mu D^\mu+m^2\right)\Psi(\mathbf{x},t)=0$

dónde $D_\mu=\partial_\mu+ieA_\mu$ es la derivada covariante.

Establece que dado que es una ecuación diferencial de segundo orden, debemos especificar la función de onda en su tiempo inicial, así como su primera derivada. Alternativamente, podemos reducir la ecuación KG de segundo orden a dos ecuaciones de primer orden e interpretar el resultado en términos del signo de la carga eléctrica.

Podemos usar eso $D_\mu D^\mu=D_t^2-\vec{D}^2$ para obtener las dos nuevas funciones

ϕ (X, t) = \frac{1}{2} (Ψ (X, t) + \frac{i}{metro} D_{t} Ψ (X, t))

$\phi(\mathbf{x},t)=\frac{1}{2}\left(\Psi(\mathbf{x,t})+\frac{i}{m}D_t\Psi(\mathbf{x,t})\right)$

x (X, t) = \frac{1}{2} (Ψ (X, t) - \frac{i}{metro} D_{t} Ψ (X, t))

$\chi(\mathbf{x},t)=\frac{1}{2}\left(\Psi(\mathbf{x,t})-\frac{i}{m}D_t\Psi(\mathbf{x,t})\right)$

pero ¿de dónde surgen estas dos funciones? ¿Cómo los obtienes de esta información?

Respuestas (1)

¿De dónde se originan las funciones de onda de partículas y antipartículas en la ecuación de Klein Gordon?

octonión · Answer 1

Las dos ecuaciones que escribiste al final son solo definiciones de $\phi$ y $\chi$ . No tienen una interpretación física en este punto del argumento de Sakurai. La interpretación física viene más tarde cuando reescribe la densidad de "probabilidad" de Klein-Gordon en términos de ellos (ver 8.1.20)

Existe una forma estándar de convertir una ecuación diferencial de orden superior en un sistema de ecuaciones de primer orden. Por ejemplo si damos $D_t \Psi(x,t)$ un nuevo nombre, $\Pi(x,t)$ ,

D_{t} Ψ \equiv - i metro Π

$D_t \Psi \equiv -i m\, \Pi$

entonces la ecuación de Klein Gordon se convierte en un sistema de primer orden en dos funciones $\Psi,\Pi$

D_{t} Π = \frac{i}{metro} ({\vec{D}}^{2} - {metro}^{2}) Ψ

$D_t \Pi = \frac{i}{m}(\vec{D}^2 - m^2)\Psi$

Sustituye la definición de $\Pi$ para obtener la ecuación original de Klein Gordon.

Ahora en lugar de los grados de libertad $\Psi,\Pi$ somos libres de definir dos combinaciones lineales independientes en su lugar:

ϕ \equiv \frac{1}{2} (Ψ + Π) x \equiv \frac{1}{2} (Ψ - Π)

$\phi\equiv\frac{1}{2}(\Psi+\Pi)\quad\chi\equiv\frac{1}{2}(\Psi-\Pi)$ Luego sumando y restando las dos primeras ecuaciones obtenemos ecuaciones de primer orden para

ϕ

$\phi$ y

χ

$\chi$ en su lugar (ver 8.1.16, o probarlo usted mismo).

¿De dónde se originan las funciones de onda de partículas y antipartículas en la ecuación de Klein Gordon?

cameron

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octonión

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