Producto interno de Klein-Gordon: cómo hacerlo realidad

Mientras se abre camino hasta la construcción de un producto interno, uno se tropieza con la siguiente ecuación:

$$\begin{equation} \partial_i(\varphi_2^*(x)\overleftrightarrow{\partial^i}\varphi_1(x))=\partial_i(\varphi_2^*(x)\partial^i\varphi_1(x) - \varphi_1(x)\partial^i\varphi_2^*(x))=0 \end{equation}$$ En este punto el profesor definió las 4 corrientes $J^i=i(\varphi_2^*(x)\overleftrightarrow{\partial^i}\varphi_1(x))$por lo que tener la ley de conservación $$\begin{equation} \partial_iJ^i=0 \end{equation}$$ Afirmó que es necesario sumar la unidad imaginaria $i$a la corriente para que sea real aun cuando $\varphi_1(x)=\varphi_2(x)$. No soy capaz de entender esta última aclaración: ¿no debería ser $J^i=0$cuando $\varphi_1(x)=\varphi_2(x)$? ¿Por qué es necesario multiplicar por la unidad imaginaria?