¿Qué tiene de malo la versión de la raíz cuadrada de la ecuación de Klein-Gordon?

El artículo de Wikipedia tiene una derivación de la ecuación de Klein-Gordon. Llega a este paso:

pag 2 C 2 + metro 2 C 4 = mi

e inserta los operadores QM para obtener

( ( − i ℏ ∇ ) 2 C 2 + metro 2 C 4 ) ψ = i ℏ ∂ ∂ t ψ

Luego el artículo dice

Esta, sin embargo, es una expresión engorrosa para trabajar porque el operador diferencial no se puede evaluar mientras está bajo el signo de la raíz cuadrada. Además, esta ecuación, tal como está, no es local.

Para arreglar esto, la primera ecuación se eleva al cuadrado para obtener

pag 2 C 2 + metro 2 C 4 = mi 2

después de lo cual se insertan los operadores QM y la expresión se simplifica para obtener

− ℏ 2 C 2 ∇ 2 ψ + metro 2 C 4 ψ = − ℏ 2 ∂ 2 ∂ t 2 ψ

Un par de cosas que no entiendo. Primero, ¿las soluciones de esta ecuación diferencial no son exactamente las mismas que las soluciones de la primera ecuación diferencial? Ambos lados de la ecuación inicial estaban elevados al cuadrado, por lo que me parece que independientemente de la forma particular de la ecuación diferencial resultante, ambos deberían tener exactamente el mismo conjunto de soluciones.

En segundo lugar, ¿por qué es engorroso trabajar con la primera ecuación diferencial? De hecho, parece que sería más fácil trabajar con él, ya que el operador debajo de la raíz cuadrada podría expandirse en términos de una serie de Taylor y luego tienes una ecuación que es de primer orden en el tiempo.

Y finalmente, ¿alguien puede explicar qué significa no local? El artículo vinculado en la página de Wikipedia no me ayudó por completo a entenderlo.

Elevar al cuadrado los dos lados de una ecuación no es una operación de equivalencia, ni siquiera para ecuaciones algebraicas simples (eso es matemática de secundaria) porque X = 1 tiene una solución, pero X 2 = 1 2 tiene dos. Que una función algebraica de un operador diferencial no se pueda evaluar en algún sentido es una tontería y Wikipedia no debería decir eso. El problema es que la evaluación de esa raíz daría lugar a una serie infinita de operadores diferenciales que, en determinadas circunstancias, pueden expresarse como un operador más general del tipo integral... y ahí es donde probablemente aparecerá la no localidad. .
Como has señalado, dado que elevar al cuadrado dos lados de una ecuación no es una operación de equivalencia, ¿en qué sentido entonces es válido hacerlo con lo anterior?
En el sentido de que la física no es matemática. A la naturaleza no le importa qué tipo de proceso mental utilices para adivinar la ecuación correcta, siempre que la ecuación tenga soluciones que sean algo correctas. La derivación de la ecuación de Klein-Gordon es simplemente adivinar tomando algo que no tiene sentido como ecuación y amasándolo en la forma de algo que tiene un poco más de sentido. Eso es todo lo que realmente hay detrás de este "misterio".
Entonces, esencialmente, toda esta derivación que implica elevar al cuadrado es solo una heurística para llegar a una ecuación que luego se verifica con un experimento para ver qué tan bien coincide. ¿Es por eso que la ecuación de Dirac es una forma relativista "alternativa" de la ecuación de Schrödinger?
Lo entendiste. Todas las ecuaciones de movimiento son el resultado de muchas conjeturas. No son arbitrarios, por supuesto, después de todo, queremos buenas propiedades como conservación de energía, causalidad, invariancia bajo grupos de simetría, existencia de un estado fundamental, estabilidad... la lista de criterios técnicos necesarios es probablemente bastante extensa. No creo que sea correcto decir que Dirac es una versión relativista de Schroedinger. Es una ecuación relativista entre muchas otras y encaja históricamente en el marco de tiempo, pero seguimos inventando nuevas ecuaciones relativistas... y ninguna de ellas es perfecta.
Y la versión más "perfecta" es solo QFT, que ni siquiera tiene una ecuación de Schrödinger, ¿verdad?
Depende de lo que quieras decir con "ecuación de Schroedinger". En teoría, uno puede empaquetar QFT en algo que formalmente se parece a la ecuación de Schroedinger (pero no es LA ecuación de Schroedinger para partículas individuales) y, según mi conocimiento, esa "forma" no es tan útil para los cálculos reales. Creo que los casos más problemáticos de las teorías cuánticas de campos son los que ni siquiera tienen una ecuación simple (al menos, todavía). Uno puede, por ejemplo, tener un buen manejo de las propiedades perturbativas de un sistema sin siquiera conocer el Lagrangiano explícito.
@CuriousOne, "dicen" que la ecuación funcional de Schrödinger es útil para ciertos cálculos perturbativos, pero, como insinúa, su utilidad puede ser dudosa (ver, por ejemplo, el capítulo Teoría de campo cuántico de partículas puntuales y cuerdas de Brian Hatfield sobre el funcional imagen de Schrödinger para cuando sea útil en cálculos perturbativos).
@AlexNelson: No soy un teórico y realmente no puedo decir nada útil sobre cómo hacer cálculos en detalle. Creo que hay cierto acuerdo en que todas las formulaciones actuales de QFT todavía sufren graves problemas matemáticos, pero dado el éxito de la teoría, incluso en este estado, en mi opinión, no puede estar completamente mal definida. Tiene que haber alguna versión que elimine todos los problemas y que sea esencialmente idéntica en su espacio de solución a lo que estamos haciendo ahora.

Respuestas (2)

En segundo lugar, ¿por qué es engorroso trabajar con la primera ecuación diferencial? De hecho, parece que sería más fácil trabajar con él, ya que el operador debajo de la raíz cuadrada podría expandirse en términos de una serie de Taylor y luego tienes una ecuación que es de primer orden en el tiempo.

Bueno, la serie de Taylor para expresiones de operadores solo tiene sentido si convergen en todas partes (p. ej., Exp ⁡ ( ∂ X ) tiene sentido como expresión en serie)...módulo detalles técnicos.

La raíz cuadrada no tiene una expresión de serie agradable para ningún operador... funciona para operadores normales .

Entonces, ¿qué sucede con esta versión de raíz cuadrada de la ecuación de KG? Simplemente tomamos la transformada de Fourier de la expresión

∫ ( k 2 − metro 2 ) F ^ ( k ) mi i k X d 4 k = 0.

Luego observa que tenemos el operador ser ( k 2 − metro 2 ) . ¡Entonces, oye, presto, toma su raíz cuadrada! Obtenemos

∫ k 2 − metro 2 F ^ ( k ) mi i k X d 4 k = 0.

Entonces... bueno, entonces es un fastidio trabajar con él. ¿Por qué? Porque todas nuestras preciosas herramientas del álgebra lineal no funcionan muy bien. Mi próxima herramienta, la blasfemia, tampoco produce muchos resultados :\

Anexo: Pensé que debería agregar algunos enlaces sobre esto, porque hay personas que lo están investigando. (Este método que esbocé describe el tratamiento de la raíz cuadrada de la ecuación de Klein-Gordon usando operadores pseudodiferenciales )

  • Claus Lämmerzahl, "La raíz cuadrada del operador pseudodiferencial de la ecuación de Klein-Gordon". J. Matemáticas. física 34 9 (1993), 3918-3932, doi:10.1063/1.530015
  • J. Sucher, "Invarianza relativista y la ecuación de Klein-Gordon de la raíz cuadrada". J. Matemáticas. física 4 17 (1963); doi:10.1063/1.1703882

Estoy seguro de que a partir de ahí, puedes seguir las referencias a donde quieras.

Y finalmente, ¿alguien puede explicar qué significa no local? El artículo vinculado en la página de Wikipedia no me ayudó por completo a entenderlo.

Tal como lo entiendo (y alguien probablemente me corregirá si me equivoco), genéricamente, significa que el campo en un punto depende de su valor en otros puntos espacialmente separados. Rompe nuestra comprensión intuitiva de causa y efecto.

Si tenemos infinitas derivadas, obtenemos este problema. ¿Por qué?

Bueno, considere un caso especial: la expansión de Taylor. Tenemos

F ( X + h ) = F ( X ) + h F ′ ( X ) + ⋯ = Exp ⁡ ( h ∂ X ) F ( X )

dónde Exp ⁡ ( h ∂ X ) = 1 + h ∂ X + ⋯ es una expresión que involucra infinitas derivadas. Entonces obtenemos una relación entre los valores en dos puntos distintos ( X y X + h ).

De manera más general, podríamos considerar cualquier operador que involucre un número infinito de derivadas, no solo Exp ⁡ ( h ∂ / ∂ X ) .

Respuesta muy útil. Su último ejemplo: ¿implicaría eso que la expansión en serie (en representación matricial) del operador de evolución temporal U = exp(-iHt/ћ) tampoco es local, si H involucra el gradiente?
@Nick, en cierto sentido, supongo que podría pensar en la evolución del tiempo unitario como "no local en el tiempo" que relaciona el estado en el tiempo t 0 con el estado en el momento t + t 0 . Esto no es terrible, está permitido por la física. El problema es cuando tienes la no localidad violar la condición [ φ ( X ) , φ ( y ) ] = 0 por espacio X , y .

En el lado derecho tenemos la raíz cuadrada de un operador. Es posible sacar la raíz cuadrada de un operador (es decir, la raíz cuadrada de una matriz) y existe un cuerpo de teoría en álgebra lineal y teoría espectral relacionada con esta posibilidad, pero la pregunta es cómo interpretar esto físicamente, ya que un matriz tiene múltiples raíces cuadradas que son en sí mismas matrices.

Una posible interpretación es hacer una expansión en serie de Taylor como bien dices, pero luego obtenemos un hamiltoniano con derivadas de orden arbitrariamente alto. Los dos enfoques estándar son, obviamente, elevar al cuadrado ambos lados y obtener la ecuación de Klein-Gordon o simplemente proponer un hamiltoniano que sea lineal en el momento e igual al cuadrado de la relación energía-momento relativista: esto conduce a la ecuación de Dirac. Si toma el último enfoque, una solución de la ecuación no es solo una función y debe tener cuatro componentes.

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