La cúpula de Norton y su ecuación

Además de la respuesta correcta de Lubos Motl, me gustaría hacer algunos comentarios relacionados con la cúpula de Norton :

1. Primero una breve derivación de la ecuación de movimiento de Norton (7). Prefiero llamar a la longitud de arco (no negativa)$r$por$s$, y la altura vertical$-h$por$z$. Al igual que Lubos Motl, introduciré un factor de proporcionalidad$K$por razones dimensionales, de modo que la ecuación de la cúpula de Norton dice

   $$z~=~-\frac{2K}{3g}s^{3/2}. \tag{1}$$ Aquí la constante$(g/K)^2$tiene dimensión de longitud. Se supone que la ecuación (1) solo es válida para longitudes de arco suficientemente pequeñas (pero finitas)$s\geq 0$. Como no hay fricción, tenemos conservación de la energía mecánica .$^1$ $$0~=~\frac{E}{m}~=~\frac{\dot{s}^2}{2}+gz.\tag{2}$$
   En la primera igualdad de (2), usamos las condiciones iniciales $$s(t\!=\!0)~=~0, \qquad \dot{s}(t\!=\!0)~=~0.\tag{3}$$ Asumimos que$t\mapsto s(t)$es dos veces diferenciable wrt. tiempo$t\geq 0$. (En detalle, en el momento inicial$t=0$suponemos que la función es unilateral dos veces diferenciable desde la derecha.) Derivación de eq. (2) wrt. tiempo$t$lleva a $$\dot{s}\ddot{s}~\stackrel{(2)}{=}~-g\dot{z}.\tag{4}$$ División a ambos lados de la ec. (4) con$\dot{s}$rendimientos$^2$ $$\ddot{s}~\stackrel{(4)}{=}~-g\frac{\dot{z}}{\dot{s}}~=~-g\frac{dz}{ds}~\stackrel{(1)}{=}~K\sqrt{s}~.\tag{5}$$ La ecuación (5) es la ecuación de movimiento buscada. Alternativamente, combinando las ecs. (1) y (2) producen la siguiente EDO de primer orden $$\dot{s} ~\stackrel{(1)+(2)}{=}~\sqrt{\frac{4K}{3}} s^{\frac{3}{4}}. \tag{6}$$

2. El problema de valor inicial (PIV) de Norton es

   $$\begin{align} \ddot{s}(t)~=~&K\sqrt{s(t)}, \cr s(t\!=\!0)~=~&0, \cr \dot{s}(t\!=\!0)~=~&0, \cr t~\geq~&0. \end{align}\tag{7}$$ El IVP (7) tiene dos ramas de solución$^3$ $$s(t) ~=~\frac{K^2}{144}t^4\qquad\text{and}\qquad s(t) ~=~0~, \tag{8}$$ como se puede comprobar fácilmente. La falta de unicidad local de la EDO (7), que conduce al indeterminismo del sistema clásico, puede atribuirse desde una perspectiva matemática a que la raíz cuadrada$\sqrt{s}$en la ec. (7) no es continua de Lipschitz en$s=0$.

3. Alternativamente, a partir de la conservación de la energía mecánica (6), se puede considerar el IVP

   $$\begin{align} \dot{s}(t) ~=~&\sqrt{\frac{4K}{3}} s(t)^{\frac{3}{4}}, \cr s(t\!=\!0)~=~&0,\cr t~\geq~&0.\end{align}\tag{9}$$ No es sorprendente que el IVP (9) tenga las mismas dos ramas de solución (8) y, por lo tanto, también demuestre que no tiene unicidad local.

$^1$Me imagino que la partícula puntual se desliza sin fricción. (La bola rodante en la figura de Norton es un poco engañosa y presumiblemente solo con fines ilustrativos). Una derivación más completa comprobaría que la partícula puntual no pierde el contacto con la perdición. Si se desea evitar tal análisis, se puede suponer, por simplicidad, que la cúpula es una restricción de dos lados.

$^2$División con$\dot{s}$solo es valido si$\dot{s}\neq 0$. Ahora recuerda que la energía mecánica$E=0$es cero Si$\dot{s}=0$después$z=0$y por lo tanto$s=0$debe ser cero, cf. ecuaciones (1) y (2). Por lo tanto, el problema de la división por cero se limita a la punta de la cúpula. Al final, resulta que el$\dot{s}=0$branch no conduce a nuevas soluciones no incluidas en la ec. (8), ni altera la IVP de Norton (7).

$^3$Para cada solución$s$, que se define para tiempos no negativos$t\geq 0$, por conveniencia extendamos de manera trivial$s(t<0):=0$para tiempos negativos$t<0$. Entonces, si tradujimos en el tiempo una solución$t\mapsto s(t)$hacia el futuro, obtenemos otra solución$t\mapsto s(t-T)$para algún parámetro de módulos$T\geq 0$. Por lo tanto, estrictamente hablando, la primera rama en la ec. (8) genera una solución de 1 parámetro con un parámetro de módulos$T\geq 0$. ¡Entonces, de hecho, el IVP (7) tiene infinitas soluciones! Tenga en cuenta que la segunda rama de solución trivial (8) se puede ver como la$T\to \infty$límite de módulos de la primera rama de solución (8).

Puede notar que las ecuaciones no pasan la prueba del análisis dimensional. Faltan algunos factores.

Sin embargo, déjame responder a tu pregunta:

La razón por la cual la aceleración nunca excede$g$es que la cúpula en realidad es finita, está truncada en la parte inferior. Para valores demasiado altos de$r$, su fórmula inicial para$h(r)$en realidad excederá$r$mismo, y no podrá encontrar puntos que sean "más profundos" por debajo de la cumbre que la longitud total desde la cumbre a lo largo de la cúpula. Bueno, la cúpula en realidad está truncada antes de eso.

Véase, por ejemplo , esta presentación del problema. Tenga en cuenta que el objetivo de Norton era estudiar el comportamiento cerca$h=0$y$r=0$al que llamó un "ejemplo de indeterminismo en la física clásica newtoniana" porque la partícula puede sentarse en la parte superior durante cualquier cantidad de tiempo y, de repente, decidir libremente y ponerse a rodar. Por eso el truncamiento de la cúpula no es importante.

Aquí están mis comentarios más generales sobre la cúpula de Norton y su inocuidad en la física cuántica .

En ese artículo, también calculé que la cúpula tiene que terminar en el punto donde$dh/dr=1$porque es el seno de un ángulo lo que implica$r_{\rm max}=(9/4)g^2=h_{\rm max}$; También uso un coeficiente adicional.$K$para hacer las fórmulas dimensionalmente correctas.

La ecuación de la cúpula se expresa en términos de longitud y altura del arco, lo que oculta muchos malos comportamientos. Como ha señalado Luboš, más allá de cierto punto ya no es físico, por lo que debemos restringirlo antes de que eso suceda.

De hecho, puede calcular la ecuación cartesiana para él, que es trazable:

Sin embargo, esta no es la única restricción que debe aplicarse. Se dice que debido a la naturaleza no analítica de la curva del domo (no es diferenciable en el vértice más allá de la primera derivada) admite más de una solución. De hecho, es la raíz cuadrada la que nos permite intuir fácilmente la otra solución que representa la trayectoria de una partícula que llega o sale del vértice con velocidad.$v$en el limite$v = 0$.

Norton intenta hacer pasar su otra solución como newtoniana, pero en realidad no lo es (en el ápice, de todos modos). Sin embargo, esto en sí mismo no es la fuente de su afirmación de no determinismo. Eso viene de él uniendo dos soluciones que tienen diferentes condiciones iniciales en algún tiempo arbitrario T. Esto no tiene ningún sentido y no tiene justificación física.

He escrito un análisis detallado de por qué la cúpula de Norton no prueba que la mecánica newtoniana no sea determinista aquí.