Solución a la ecuación diferencial del péndulo

El problema del péndulo se puede resolver exactamente si se usa la integral elíptica.

La integral elíptica se define mediante:

$$\begin{equation} F(\phi,k)=\int_{0}^{\phi}\frac{dt}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}t}}\, . \end{equation}$$ Esta integral se originó cuando los matemáticos investigaron la curva elíptica.

En el caso del problema del péndulo, la energía de conservación produce la ecuación de movimiento:

$$\begin{equation} \frac{1}{2}l\dot{\theta}^{2}-g\cos\theta=-g\cos\theta_{m} \end{equation}$$ dónde$\theta_{m}$denote el ángulo correspondiente a la altura más alta, entonces la ecuación se puede invertir para: $$\begin{equation} \frac{d\theta}{dt}=\sqrt{\frac{2g}{l}}\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_{m}} \end{equation}$$ esta expresión se puede simplificar utilizando la identidad trigonométrica: $$\begin{equation} \cos\theta=1-2\sin^{2}(\theta/2) \end{equation}$$ y cambiando de variable: $$\begin{equation} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\sin\left(\frac{\theta_{m}}{2}\right)\sin s \end{equation}$$ diferenciar esta variable con respecto a t y usar la regla de la cadena y luego volver a integrar con respecto a t da: $$\begin{equation} t=\sqrt{\frac{l}{g}}{\Large\int_{0}^{\phi}}\frac{ds}{\sqrt{1-\sin^{2}(\theta_{m}/2) \sin^{2}s}}\, , \end{equation}$$ cuya solución viene dada por la integral elíptica enunciada anteriormente.

No es posible expresar la solución de la ecuación en términos de funciones elementales. No obstante, puede obtener una solución aproximada a través de la integración numérica.

La figura muestra la solución numérica.$\theta(t)$para diferentes condiciones iniciales. Yo he puesto$\frac{g}{L}=1$y$\dot{\theta}_0 = \dot{\theta}(t=0) = 0$.

La posición inicial$\theta_0 = \theta(t=0)$asume los valores 1°, 5°, 15°, 30°, 60° y 120°.

En cada subparcela, la curva azul representa la solución de la ecuación exacta

$\ddot{\theta} = -\sin{\theta}$

mientras que la curva naranja es la solución de la ecuación aproximada

$\ddot{\theta} = -\theta$

Como puedes ver, por$\theta_0 < 15°$las dos soluciones son visualmente indistinguibles en este rango de tiempo y nivel de detalle de la imagen.

Es imposible resolver esta ecuación en el caso general, pero ha sido ampliamente estudiada en el contexto de

• ecuación seno-Gordon
• Teoría de Floquet para perturbaciones periódicas
• Teorema de Bloch para cristales

Tenga en cuenta que la teoría de Floquet y el teorema de Bloch son matemáticamente muy similares (algunos incluso dirían idénticos). No agregué el enlace al artículo de Wikipedia sobre la teoría de Floquet, ya que tiene una visión bastante abstracta, lejos del OP que podría interesarle. Sin embargo, los materiales son abundantes a través de Google.

Actualizar

• Tenga en cuenta que seno-Gordon es en realidad una ecuación diferencial parcial que, en algunos casos, es reducible a la ecuación en el OP
• Los comentarios a esta respuesta y el OP han señalado que la ecuación se puede resolver en términos de funciones elípticas. Supongo que esto no es lo que se quiso decir en el OP, pero estoy de acuerdo en que lo que definimos como una solución exacta está abierto a interpretaciones. Incluso hay preguntas de PSE que discuten esto, por ejemplo, esta: ¿ Por qué no se pueden resolver muchos modelos exactamente?

Esta respuesta continúa desde la respuesta de wong tom y usa la misma notación.

Como dijo Tom, la ecuación de movimiento del péndulo simple no amortiguado con ángulo de oscilación máximo$\theta_m$conduce a esta integral:

$$t=\sqrt{\frac{l}{g}}{\Large\int_{0}^{\phi}}\frac{ds}{\sqrt{1-\sin^{2}(\theta_{m}/2) \sin^{2}s}}$$

que es una integral elíptica incompleta de primera clase.

Aunque las integrales elípticas no se pueden resolver usando las funciones elementales estándar, se pueden evaluar numéricamente de manera muy eficiente usando algoritmos basados ​​en la media aritmético-geométrica (AGM), que converge cuadráticamente. Las integrales elípticas se pueden invertir usando las funciones elípticas de Jacobi , que también se pueden calcular rápidamente usando algoritmos basados ​​en AGM.

Estas integrales y funciones se han estudiado extensamente desde el siglo XVIII; por ejemplo, Gauss hizo un trabajo importante en ellos, incluida la investigación de la conexión AGM, que había sido descubierta anteriormente por Landen . (Quizás los algoritmos basados ​​en AGM no recibieron mucha atención en el pasado porque son menos susceptibles de análisis que las series de potencias, y porque implican alternar entre suma y multiplicación y extracción de raíces cuadradas, que es una un poco tedioso cuando se trabaja con tablas de registro, pero en la era moderna de las computadoras electrónicas, son triviales de implementar y las bibliotecas de matemáticas avanzadas usan rutinariamente el AGM).

la sustitución

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\sin\left(\frac{\theta_{m}}{2}\right)\sin s$$

significa que$\phi=\pi/2$corresponde a$\theta=\theta_m$, por lo que evaluando la integral anterior para$\phi=\pi/2$da el cuarto de período del péndulo.

Dejar$k=\sin(\theta_m/2)$y$k'=\cos(\theta_m/2)$.

Ahora

$${\Large\int_{0}^{\pi/2}}\frac{ds}{\sqrt{1-k^2\sin^2 s}}$$ es la integral elíptica completa de primera especie.

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También se puede escribir como

$${\Large\int_{0}^{\pi/2}}\frac{ds}{\sqrt{k'^2\sin^2 s + \cos^2 s}}$$

Landen y Gauss se dieron cuenta de que si

$$I={\Large\int_{0}^{\pi/2}}\frac{ds}{\sqrt{a^2\sin^2 s + b^2\cos^2 s}}$$ entonces $$I={\Large\int_{0}^{\pi/2}}\frac{ds}{\sqrt{a'^2\sin^2 s + b'^2\cos^2 s}}$$ dónde $$a'=(a+b)/2, \, b'=\sqrt{ab}$$ que es la transformación AGM. Así que solo tenemos que encontrar$\operatorname{AGM}(a,b)$transformar la integral en trivial

$$I={\Large\int_{0}^{\pi/2}}\frac{ds}{\operatorname{AGM}(a,b)\sqrt{\sin^2 s + \cos^2 s}}$$ es decir, $$I=\frac{\pi}{2\operatorname{AGM}(a,b)}$$

Esta misma técnica se puede aplicar para calcular las integrales incompletas, solo necesitamos hacer un poco de contabilidad para realizar un seguimiento de las transformaciones del límite integral superior. Y también se puede aplicar a las funciones elípticas. Consulte los enlaces de Wikipedia para obtener más detalles. Consulte también
Cálculo numérico de integrales elípticas reales o complejas, Bille C. Carlson (1994)
doi: 10.48550/arXiv.math/9409227

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Aplicando esto a la integral del péndulo, ahora tenemos una expresión para el período verdadero:

$$T=\frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}{AGM(1, k')}$$ o $$T=T_0 / \operatorname{AGM}(1,k')$$ dónde

$$T_0=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$ es el período simple calculado usando el$\sin(\theta)\approx\theta$aproximación. Como$\theta_m\to 0, k\to 0, k'\to 1$, y por supuesto$\operatorname{AGM}(1,1)=1$.

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Si

$$u={\Large\int_{0}^{\phi}}\frac{ds}{\sqrt{1-k^2\sin^2 s}}$$ entonces $$\phi=\operatorname{am}(u, k^2)$$ dónde$\operatorname{am}$es la función de amplitud elíptica de Jacobi.

Dejar

$$u=t\sqrt{\frac{l}{g}}$$ Ahora $$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=k\sin\phi$$ Entonces $$\theta=2\arcsin(k\sin\phi)$$ Nos da$\theta$como una función de$t$con parámetro$k$.

Tenga en cuenta que$\operatorname{am}(u,0)=u$, por lo que en la aproximación de ángulo pequeño recuperamos la ecuación simple

$$\theta=\theta_m\sin(2\pi t/T)$$

Convenientemente, el algoritmo AGM para$\operatorname{am}$es en dos partes. La primera parte calcula una lista de términos de AGM usando$k$y$k'$, la segunda parte usa esa lista y$u$computar$\phi$. Así que para un fijo$k$podemos calcular varios$\phi$valores sin tener que repetir el cálculo de la lista AGM.

Aquí hay un breve programa de Python que implementa este algoritmo para graficar el ángulo del péndulo como una función del tiempo. Se ejecuta en el servidor SageMathCell y usa las funciones de trazado de Sage, pero la aritmética central se realiza en Python simple, solo con funciones de biblioteca matemática estándar. (Sage en realidad proporciona un complemento completo de integrales y funciones elípticas de precisión arbitraria, así como el AGM).

demostración de péndulo

El programa traza la verdadera función de péndulo en rojo. También puede trazar la función seno simple (en verde) o una función seno con su período corregido al período verdadero (en azul).

para pequeñitos$\theta_m$, es difícil ver la diferencia entre la curva verdadera y los senos simples. Incluso para ángulos que se acercan$90°$, el seno corregido por período todavía está bastante cerca de la curva verdadera. Aquí hay algunos ejemplos de un péndulo de longitud$1$metro.