¿ Cuál es el propósito detrás de la formulación débil de PDE? He leído en el libro de Zienkiewicz y Taylor que una formulación débil es más "permisiva" que el problema original en el sentido de que permite discontinuidades en los coeficientes de las PDE donde la PDE original en forma diferencial debe tener un "verdaderamente " suave solución a resolver analíticamente. Entonces mi pregunta es, en primer lugar, ¿qué es una formulación débil en el sentido físico? y en segundo lugar, ¿solo se usa para manejar PDE con discontinuidades de coeficiente en el sentido de que una integración analítica da un resultado "demasiado suave" que no es relevante en problemas de la naturaleza?
En primer lugar, lo importante no es que se permita que los coeficientes en las PDE se comporten mal, sino la solución en sí
Una formulación débil es a menudo la forma natural en que obtenemos la PDE de la física, quizás lo más importante de las leyes de conservación. Por ejemplo, podríamos obtener una ecuación para el flujo de un fluido a partir de la conservación del momento, considerando una región arbitraria. Entonces (tasa de cambio del momento)=(flujo neto del momento)+(fuerza), escrito en forma integral (¡débil!). Al tomar una región pequeña, obtenemos una formulación diferencial.
Las soluciones débiles en sí mismas también son físicamente relevantes, porque la evolución del sistema conduce a una discontinuidad. Por ejemplo, el flujo de un fluido no viscoso unidimensional se describe mediante las ecuaciones de Euler , pero para ciertas condiciones iniciales y de contorno, estas no tienen una solución uniforme: en particular, se pueden formar ondas de choque, donde la presión (digamos) es discontinua. Las PDE por sí solas son ambiguas en cuanto a cómo proceder, pero una formulación débil dará una solución débil específica, usando algo así como las condiciones de salto de Rankine-Hugoniot. Fenómenos similares ocurren para las olas rompiendo y los modelos de flujo de tráfico.
No estoy seguro de haber abordado directamente sus preguntas, ¡pero espero que sea suficiente para responderlas!
usuario10851