¿Qué situaciones en la física clásica son no deterministas?

En el libro de Sean Carroll "The Big Picture", afirma ( capítulo 4, página 35 ):

La mecánica clásica, el sistema de ecuaciones estudiado por Newton y Laplace, no es perfectamente determinista. Hay ejemplos de casos en los que no se puede predecir un resultado único a partir del estado actual del sistema. Esto no molesta a la mayoría de las personas, ya que los casos como este son extremadamente raros: son esencialmente infinitamente improbables entre el conjunto de todas las cosas posibles que podría estar haciendo un sistema. Son artificiales y divertidos de pensar, pero no son de gran importancia para lo que sucede en el desordenado mundo que nos rodea.

¿Cuáles son algunas de estas situaciones a las que se refiere?

Mi primera suposición fue algo así como el equivalente conceptual de una pelota colocada exactamente en la cima de una colina y preguntando en qué dirección rodará. Pero eso no parece correcto: este sería un caso en el que la solución "verdadera" es que la pelota no rodaría en absoluto, mientras que en realidad siempre habrá pequeñas perturbaciones que hagan que la pelota ruede en alguna dirección. No creo que esto sea a lo que se refiere Carroll. Parece sugerir que el "resultado matemático verdadero y exacto" no está determinado de manera única para ciertos sistemas clásicos.

Escuché que los teoremas de unicidad para soluciones de ecuaciones diferenciales generalmente no se aplican a ecuaciones no lineales, y me pregunto si esto puede tener algo que ver con eso. La aclaración y los ejemplos serían muy apreciados.

La evolución de los sistemas caóticos no se puede predecir a partir de sus condiciones iniciales.
@rob Sí, Carroll también habla sobre el caos, pero ese es un problema conceptualmente diferente: todavía hay un resultado único determinado por las condiciones iniciales, pero un requisito de precisión e información infinitas para calcularlo. Mientras que Carroll sugiere que hay situaciones en las que múltiples resultados son exactamente consistentes con un conjunto exacto de condiciones iniciales.
Bueno, el libro que estoy leyendo dice que si sabes todo sobre un sistema en algún instante de tiempo, y también sabes las ecuaciones que gobiernan cómo cambia el sistema, entonces puedes predecir el futuro.
@rob, tenga en cuenta que la mayoría de los casos de caos en la mecánica clásica son caos deterministas. Solo los ejemplos específicos serían no deterministas, pero el caos en sí mismo no significa que el sistema sea no determinista.
Los modelos basados ​​en la mecánica clásica no son necesariamente computables. Hace mucho tiempo se dio un ejemplo explícito de un sistema que implementa una computadora que acelera sin límite de manera que cada ciclo de reloj toma la mitad del tiempo que el anterior. Esto significa que se puede realizar un número infinito de cálculos en un tiempo finito. Dicho sistema puede entonces resolver problemas matemáticos no computables, pero eso significa que el estado del sistema en sí mismo no es computable.

Respuestas (1)

Hay dos casos famosos en la mecánica clásica que no logran ser deterministas.

La primera, y más famosa, es la Cúpula de Norton, que corresponde a un sistema con una fuerza de la forma

F = r

Hay más detalles en el artículo de Wikipedia (generalmente se describe como el resultado de una fuerza de reacción de una superficie con una forma determinada), pero la idea básica es que la derivada de la fuerza no se define en r = 0 , ya que

( r ) ′ = 1 2 r

Debido a esto, no hay garantía de que la ecuación r ¨ = r tiene una solución única (y de hecho no la tiene), porque no es continua de Lipschitz .

Hay mucha información sobre Norton's Dome, tanto aquí como en Internet, así que aquí está el ejemplo más interesante, aunque incluso más patológico, el Space Invader.

El invasor del espacio es una partícula que se somete a una aceleración ilimitada en un tiempo finito, de modo que alcanza el "infinito" después de un tiempo. La forma exacta de la fuerza no importa, pero por ejemplo podría elegir

F = broncearse ⁡ ( t )

En tales casos, la partícula irá al infinito en t = π / 2 y, pasado ese tiempo, dejarán de existir. Como este sistema es simétrico en el tiempo, también es posible considerar el caso de una partícula que originalmente no existe y proviene del infinito, o incluso hacer ambas cosas (la restricción de la fuerza a intervalos de tiempo específicos servirá para asegurar esos resultados).

Otro ejemplo de tal comportamiento son las singularidades de no colisión de Painlevé . El ejemplo más famoso es un problema gravitacional de 5 cuerpos en el que una de las partículas también irá al infinito en un tiempo finito, simplemente tomando prestada energía de dos sistemas de 2 cuerpos. En cuanto a las partículas puntuales, la energía potencial es ilimitada desde abajo (ya que es mi ∝ − 1 / r ), es posible tener una energía cinética infinita mientras se mantiene la conservación de la energía, al colapsar los sistemas de 2 cuerpos.

Para un tratamiento general sobre el tema del determinismo en la física clásica, también puede consultar este artículo de Earman , por ejemplo.

¿Cómo se comportaría la cúpula de Norton si introdujéramos una fuerza de fricción arbitrariamente pequeña pero distinta de cero?
@hyportnex aún le faltaría la continuidad de Lipschitz, por lo que la conclusión probablemente sería la misma.
@hyportnex: la cúpula de Norton no puede existir, ni las singularidades de n-cuerpos (no hay cuerpos gravitacionales de radio cero), en mecánica verdaderamente clásica. En un mundo cuántico, la mecánica clásica no se sostiene, por lo que también son completamente irrelevantes.
¿Qué situaciones en la física clásica son no deterministas?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 1v