Altitud máxima de un lanzamiento vertical teniendo en cuenta el cambio de gravedad

Digamos que un cuerpo con masa metro se lanza verticalmente desde la superficie de un planeta con masa METRO . ¿Cuál es la altura máxima que alcanzará el cuerpo?

Mi intento: las ecuaciones

d 2 d t 2 d ( t ) = a ( t )
y
a ( t ) = GRAMO METRO metro d ( t ) 2
producir la ecuación diferencial

d ( t ) 2 d 2 d t 2 d ( t ) = GRAMO METRO metro

que, si se resuelve, podría permitirnos encontrar las soluciones a d ′ ( t ) = 0 y por lo tanto el máximo de la función d ( t ) . Sin embargo, parece que no puedo resolver la ecuación incluso por medio de una calculadora de ecuaciones diferenciales.

Su ODE (uso doble bastante confuso de d allí!) tiene una solución, pero no se puede hacer explícito en t : wolframalpha.com/input/?i=%5By%28t%29%5D%5E2+y%27%27%28t%29%3Dc

Respuestas (1)

Sugerencia: En los casos en que las leyes de Newton pueden usarse para resolver teóricamente algunos problemas, pero son muy difíciles en la práctica, el enfoque puede simplificarse mucho con un estilo de enfoque diferente, utilizando la noción de energía.

Para el problema que tiene entre manos, considere modelar el objeto y el planeta como un solo sistema. Como no hay una transferencia significativa de energía a través de los límites del sistema, la energía total del sistema (suma de la energía potencial cinética y gravitatoria del sistema) se conserva y el sistema puede modelarse como un sistema aislado para la energía.

Deberías poder tomarlo desde aquí. Espero que esto ayude.

Siempre he encontrado que la energía es un concepto difícil de abordar. Si la aceleración es constante, es fácil demostrar que la expresión metro gramo h + 1 2 metro v 2 también es constante, pero ¿cómo podemos demostrar que la expresión mantiene un valor constante incluso cuando varía la aceleración? Creo que voy a necesitar un argumento más sofisticado que "porque la energía se conserva".
De hecho, ni siquiera estoy seguro de cómo interpretar la ecuación ya que gramo varía dependiendo de la altura.
Esa es en realidad una pregunta separada en sí misma. La conservación de la energía es una ley universal, siempre que no haya transferencias de energía hacia o desde el sistema, la energía del sistema es constante. También metro gramo y no es la energía potencial del sistema Tierra-objeto. La ecuación correcta a utilizar es tu ( r ) = − GRAMO metro METRO r , y como puede ver, se simplificará a metro gramo y para cambios cortos de altitud (donde, como usted señala, el cambio en el campo gravitatorio es insignificante en el mejor de los casos). Prueba esto y avísame si tienes algún problema.
Veo. ¿Sería la altura máxima GRAMO METRO metro metro v 2 / 2 − GRAMO METRO metro / r dónde r es el radio del planeta? Tengo dudas ya que la expresión no parece depender de metro .
Gracias por cierto. Creo que he encontrado una prueba de la fórmula. W = tu + k como lo describe en Wikipedia.
Parece correcto, pero recuerda que la "altitud" que has encontrado en realidad se mide desde el centro de la Tierra. Las altitudes suelen ser relativas a la superficie de la Tierra, por lo que debe restar algo (esperemos que pueda resolver esto). También es completamente natural que el resultado sea independiente de metro . La situación es una idealización (observe cómo no consideramos la resistencia del aire en la situación y si eso se tuviera en cuenta, el resultado dependería de metro ). Esta es también la razón por la cual los cuerpos de diferentes masas tardan el mismo tiempo en caer desde la misma altura (idealmente)
Altitud máxima de un lanzamiento vertical teniendo en cuenta el cambio de gravedad
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