¡La ley de Newton requiere dos condiciones iniciales mientras que la serie de Taylor requiere infinitas!

Question

¡La ley de Newton requiere dos condiciones iniciales mientras que la serie de Taylor requiere infinitas!

SRS

Por el teorema de Taylor, sabemos que una función del tiempo $x(t)$ se puede construir en cualquier momento $t>0$ como

\begin{matrix} (1) & X (t) = X (0) + \dot{X} (0) t + \ddot{X} (0) \frac{t^{2}}{2!} + \overset{⃛}{X} (0) \frac{t^{3}}{3!} + . . . \end{matrix}

$x(t)=x(0)+\dot{x}(0)t+\ddot{x}(0)\frac{t^2}{2!}+\dddot{x}(0)\frac{t^3}{3!}+...\tag{1}$ conociendo un número infinito de condiciones iniciales

x (0), \dot{x} (0), \ddot{x} (0), \overset{⃛}{x} (0), . . .

$x(0),\dot{x}(0),\ddot{x}(0),\dddot{x}(0),...$ a

t = 0

$t=0$ .

Por otro lado, requiere solo dos condiciones iniciales. $x(0)$ y $\dot{x}(0)$ , para obtener la función $x(t)$ resolviendo la ecuación de newton

\begin{matrix} (2) & metro \frac{d^{2}}{d t^{2}} X (t) = F (X, \dot{X}, t) . \end{matrix}

$m\frac{d^2}{dt^2}x(t)=F(x,\dot{x},t).\tag{2}$ Entiendo que (2) es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y por lo tanto, para resolverla necesitamos dos condiciones iniciales

x (0)

$x(0)$ y

\dot{x} (0)

$\dot{x}(0)$ .

Pero, ¿cómo reconciliamos (2) que requiere solo dos condiciones iniciales con (1) que requiere que conozcamos una cantidad infinita de información inicial para construir $x(t)$ ? ¿Cómo es que la información de las derivadas de orden superior en $t=0$ volverse redundante? Supongo que debido a la existencia de la ecuación diferencial (2), todas las condiciones iniciales en (1) no permanecen independientes, pero no estoy seguro.

alfredo centauro

Como regla general, no comento sobre los votos negativos anónimos que recibo porque, sinceramente, no veo la necesidad de pensarlo dos veces. Pero me acabo de dar cuenta de que esta pregunta ha recibido 3 votos negativos anónimos y cada respuesta tiene al menos un voto negativo anónimo. Eso me parece un poco extraño.

david z

@AlfredCentauri Mejor lanzar una bandera para ese tipo de cosas. No hay garantía de que los moderadores puedan averiguar si está pasando algo nefasto, pero al menos podemos intentar investigarlo.

usuario45664

consulte physics.stackexchange.com/q/399647/45664 para la misma pregunta aplicada a la ecuación de onda, y una respuesta aceptada similar.

Respuestas (5)

¡La ley de Newton requiere dos condiciones iniciales mientras que la serie de Taylor requiere infinitas!

Como regla general, no comento sobre los votos negativos anónimos que recibo porque, sinceramente, no veo la necesidad de pensarlo dos veces. Pero me acabo de dar cuenta de que esta pregunta ha recibido 3 votos negativos anónimos y cada respuesta tiene al menos un voto negativo anónimo. Eso me parece un poco extraño.
@AlfredCentauri Mejor lanzar una bandera para ese tipo de cosas. No hay garantía de que los moderadores puedan averiguar si está pasando algo nefasto, pero al menos podemos intentar investigarlo.
consulte physics.stackexchange.com/q/399647/45664 para la misma pregunta aplicada a la ecuación de onda, y una respuesta aceptada similar.

alfredo centauro · Answer 1

Por otro lado, se requieren solo dos condiciones iniciales x(0) y x˙(0), para obtener la función x(t) resolviendo la ecuación de Newton

Por simplicidad de notación, sea

X_{0} = X (0)

$x_0 = x(0)$

v_{0} = \dot{X} (0)

$v_0 = \dot x(0)$

y luego escribe tus ecuaciones como

X (t) = X_{0} + v_{0} t + \ddot{X} (0) \frac{t^{2}}{2!} + \overset{⃛}{X} (0) \frac{t^{3}}{3!} + \dots

$x(t) = x_0 + v_0t + \ddot x(0)\frac{t^2}{2!} + \dddot x(0)\frac{t^3}{3!} + \cdots$

metro \ddot{X} (t) = F (X, \dot{X}, t)

$m\ddot x(t) = F(x,\dot x,t)$

Ahora, mira eso

\ddot{X} (0) = \frac{F (X_{0}, v_{0}, 0)}{metro}

$\ddot x(0) = \frac{F(x_0,v_0,0)}{m}$

\overset{⃛}{X} (0) = \frac{\dot{F} (X_{0}, v_{0}, 0)}{metro}

$\dddot x(0) = \frac{\dot F(x_0,v_0,0)}{m}$

y así. Por lo tanto

X (t) = X_{0} + v_{0} t + \frac{F (X_{0}, v_{0}, 0)}{metro} \frac{t^{2}}{2!} + \frac{\dot{F} (X_{0}, v_{0}, 0)}{metro} \frac{t^{3}}{3!} + \dots

$x(t) = x_0 + v_0t + \frac{F(x_0,v_0,0)}{m}\frac{t^2}{2!} + \frac{\dot F(x_0,v_0,0)}{m}\frac{t^3}{3!} + \cdots$

En otras palabras, el valor inicial de las derivadas temporales de segundo y orden superior de $x(t)$ están determinados por $F(x,\dot x, t)$ .

usuario93146 · Answer 2

FGSUZ ha dado parte de la respuesta en su comentario, pero no ha dado todos los detalles.

Considerar $\ddot{x} (t)=F(x,\dot{x},t)$ . En este caso tienes la segunda derivada en términos de orden inferior. Por lo tanto, puede usar esto para eliminar la segunda derivada a favor de elementos de orden inferior.

A continuación, puede tomar la derivada del tiempo de esta ecuación. Esto le dará la derivada temporal de tercer orden de $x$ en términos de derivadas de orden inferior. Y puedes usar la primera ecuación y su derivada para escribir todo en términos de la primera derivada como máximo.

Entonces, orden por orden, puedes construir la expansión de Taylor.

Ahora, el caso general puede requerir que usted trate con derivados de $F(x,\dot{x},t)$ . Eso es porque necesita lo siguiente (si he recordado mi cálculo correctamente).

\frac{d^{3} X}{d t^{3}} = \dot{F} (X, \dot{X}, t) = \frac{\partial}{\partial X} F (X, \dot{X}, t) \frac{d X}{d t} + \frac{\partial}{\partial \dot{X}} F (X, \dot{X}, t) \frac{d \dot{X}}{d t} + \frac{\partial}{\partial t} F (X, \dot{X}, t)

$\frac{d^3 x}{dt^3}=\dot{F}(x,\dot{x},t)= \frac{\partial}{\partial x}F(x,\dot{x},t) \frac{dx} {dt} + \frac{\partial}{\partial \dot{x}}F(x,\dot{x},t) \frac{d\dot{x}} {dt} +\frac{\partial} {\partial t}F(x,\dot{x},t)$

Esto a menudo no será explícitamente solucionable. Sin embargo, también puede expandirse Taylor de manera similar. Y, en cada orden, mantienes solo el orden correspondiente en la expansión de esta ecuación.

Entonces, orden por orden, puedes construir la serie de Taylor. En cada paso, puede usar la ecuación de movimiento para eliminar todo menos el $x$ , $\dot{x}$ , y $t$ dependencia. Y así solo necesitarás dos condiciones iniciales. Tedioso, pero posible.

Los buenos casos son aquellos pocos en los que se puede derivar una fórmula simple que proporciona una fácil recurrencia. Así que podrías, para formas simples de $F$ , obtener algo simple que el $(n+1)$ derivada es una función simple de la $n$ derivado. En tales casos, es potencialmente útil en soluciones numéricas, ya que puede escribir las cosas en términos del paso de tiempo y una buena expansión de Taylor. Aunque, incluso en tales casos, a menudo existen métodos más eficientes.

Los buenos casos son aquellos pocos en los que se puede derivar una fórmula simple que proporciona una fácil recurrencia. ¡Buena idea!

yuggib · Answer 3

La expansión de la serie Power no es válida para todas las funciones $f(t)$ o para todos $t\in\mathbb{R}$ , pero sólo para funciones analíticas reales y para $t$ en el radio de convergencia. En particular, no se cumple en ningún punto , por ejemplo , para funciones $C^2(\mathbb{R},\mathbb{R}^d)\smallsetminus C^3(\mathbb{R},\mathbb{R}^d)$ . Por lo tanto, no es posible definir ninguna función dando contablemente muchos números reales $(x^{(n)}(0))_{n\in\mathbb{N}}$ .

En particular, la ecuación de Newton puede tener soluciones en $C^2(\mathbb{R},\mathbb{R}^d)\smallsetminus C^3(\mathbb{R},\mathbb{R}^d)$ , que por tanto no admiten un desarrollo en serie de potencias, o en general soluciones que no son analíticas reales para todos los tiempos, y por tanto que no siempre admiten un desarrollo de Taylor. No obstante, estas funciones están definidas únicamente por dos números reales ( $x(0)$ , $\dot{x}(0)$ ) y por ser solución de la ecuación de Newton ( es decir , también están determinados por $m$ y la forma funcional $F$ de la fuerza).

En caso de que una solución de la ecuación de Newton sea analítica real, entonces el valor de las derivadas de orden superior en cero está determinado únicamente por la solución misma y, por lo tanto, también dependen solo de $x(0)$ , $\dot{x}(0)$ , $m$ y $F$ ; no se requiere mayor conocimiento.

En matemáticas puras, esto es cierto. Pero esto es física. Cualquier sistema físico realista puede considerarse analítico, ya que no solo es imposible realizar mediciones con una precisión infinita, sino que incluso es imposible definir las cantidades que se miden. (Considere, por ejemplo, el volumen de un objeto: más allá de cierta precisión, ni siquiera puede decir dónde está el límite del espacio ocupado por el objeto).
@PaulSinclair Realmente no veo el punto de tu comentario. El OP pregunta sobre las propiedades matemáticas de una función y cómo se puede obtener como la solución de una ecuación diferencial o como la expansión en serie de potencias. Si se debe argumentar teniendo en cuenta las limitaciones de precisión en las mediciones, entonces se debe negar muy bien que el concepto de derivada sea físico, ya que implica un procedimiento de límite con cantidades que se vuelven arbitrariamente pequeñas. Entonces, incluso la ecuación de Newton no tiene sentido como tal, ya que involucra dos derivadas.
De hecho, te perdiste por completo el punto. Sin embargo, como veo que en la edición accidentalmente redacté mal la segunda oración, esto es comprensible. Las matemáticas se utilizan en la física para modelar. En cualquier lugar donde se use una función no analítica para modelar un fenómeno físico, también se podría usar una función analítica con la misma o mejor precisión. Por lo tanto, en física es completamente razonable asumir que todas las funciones son analíticas y no preocuparse por los detalles complicados a los que los matemáticos deben prestar tanta atención.
La solución a la ecuación de Newton puede no ser analítica en el sentido que usted define. Sin embargo, una solución $x(t)$ de (2) por ejemplo, $x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$ para un oscilador armónico, siempre se puede construir a partir de una serie de Taylor de la forma (1). Entonces, en mi humilde opinión, es importante entender cómo se determinan automáticamente las derivadas más altas a partir de (2).
@PaulSinclair En general, no es cierto que cada vez que se usa una función no analítica, podría reemplazarse por una analítica desde el punto de vista físico. A menudo es necesario desde la perspectiva física utilizar funciones aproximadas. Un ejemplo que me viene a la mente es el movimiento browniano. No puede explicar con tanta precisión la trayectoria de una partícula en movimiento browniano usando un camino suave como lo haría usando un camino continuo diferenciable en ninguna parte. Sin mencionar la necesidad de usar distribuciones (que generalmente ni siquiera son funciones) en el electromagnetismo clásico y la teoría de la señal.
@SRS La suavidad de la solución depende de las fuerzas involucradas en el proceso. Un oscilador armónico tiene soluciones suaves, pero otros potenciales (p. ej., el potencial de Newton/Coulombio) pueden tener singularidades, por lo que la solución puede no ser suave. No obstante, una vez que tenga la solución, suave o no, puede calcular sus derivadas explícitamente. Dado que la solución depende solo de los parámetros del sistema (masa y campo de fuerza) y de las condiciones iniciales, también las derivadas de orden superior solo dependerán de éstas. Al menos para mí, parece bastante natural/directo.
@PaulSinclair Lo veo exactamente al revés: debido a la incertidumbre de la medición, no tiene sentido ni siquiera discutir la analiticidad, ya que no hay forma de determinar las derivadas más altas y confirmar que coinciden con la serie de Taylor. Puede tener un modelo que haga alguna predicción de alguna derivada particular basada en un valor medible directamente (a menudo, ecuaciones diferenciales de segundo orden)...
...y esto nos dice que la función debería ser al menos así de diferenciable. Tal modelo puede tener una solución exacta que resulte ser analítica. Pero para algunas EDP, en realidad sabemos que las soluciones exactas desarrollan discontinuidades, ¡incluso cuando proporciona una condición inicial analítica! En ese sentido, son fundamentalmente no analíticos. Eso no prueba que la "verdadera función física" no sea analítica (esta no es una pregunta bien definida), pero sí prueba que no tiene sentido suponer simplemente que todo es analítico.

JiK · Answer 4

Para resumir, para llegar al núcleo de su pregunta, espero

Primero, algunas funciones no corresponden a su serie de Taylor en $0$ . Pero ignoremos eso para esta respuesta.

Pero, lo que es más importante: ¡la representación de la serie de Taylor tiene más grados de libertad simplemente porque no todas las funciones son soluciones de la ecuación (2)! Esto debería ser bastante obvio si lo piensas: si tiro una pelota, entonces si no sabes nada de física o no tienes experiencia en el mundo real, su camino podría ser cualquier cosa , podría volar a Marte y regresar a mí. , podría vibrar entre dos puntos, podría dibujar tu nombre en el aire. Si solo usa (1), no puede descartar estas posibilidades. Pero una vez que te das cuenta de que sigue las ecuaciones de Newton, los caminos posibles son muy limitados.

Acumulación · Answer 5

Como ejemplo, supongamos que tenemos la Ley de Hooke, F = -kx. Escribiendo la serie de Taylor (técnicamente, Maclaurin, ya que está centrada en cero) como

$x(t) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{(n)}(0)t^n}{n!}$

Donde $x^{(n)}$ es la n-ésima derivada de $x$ , después

$x^{(2)}(t) = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{(n)}(0)t^{n-2}}{(n-2)!}$

Cambiando el índice, esto se puede escribir como

$x^{(2)}(t) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{(n+2)}(0)t^{n}}{n!}$

Entonces podemos escribir la Ley de Hooke como

$m\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{(n+2)}(0)t^{n}}{n!} =-k \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{(n)}(0)t^n}{n!}$

Igualando los términos semejantes, tenemos

$m \frac{x^{(n+2)}(0)}{n!} =-k \frac{x^{(n)}(0)}{n!}$

o

$x^{(n+2)}(0) =\frac{-k}{m}x^{(n)}(0)$

Entonces, dado cualquier n, podemos encontrar el (n+2)-ésimo coeficiente en términos del n-ésimo coeficiente. Esto significa que los coeficientes pares están determinados por el coeficiente 0 y los coeficientes impares están determinados por el coeficiente 1. (Las potencias pares corresponden a una solución en términos de coseno y las potencias impares corresponden a una solución en términos de seno, y la solución general es una combinación lineal de las dos). Esto se conoce como solución analítica de la EDO. En general, no será tan simple como esto. Sin embargo, dado que la LHS de la ecuación de Newton tiene solo un término de segundo orden, y la RHS es de primer orden, el coeficiente (n+2) se podrá expresar en términos de los coeficientes n y (n+1), dando los coeficientes 0 y 1 como condiciones iniciales.

Entonces, la clave es que para que los polinomios sean iguales entre sí, los coeficientes de las potencias correspondientes deben ser iguales, y esto se puede extender a la serie de Taylor. Esto da una relación de recurrencia que da coeficientes en términos de coeficientes de orden inferior, y la serie infinita de Taylor colapsa hasta quedar determinada por dos coeficientes.

¡La ley de Newton requiere dos condiciones iniciales mientras que la serie de Taylor requiere infinitas!

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