¿Hay algún ejemplo físicamente relevante de construir una solución en serie sobre el infinito de una ecuación diferencial ordinaria?

Trataré de proporcionar ejemplos donde las soluciones de problemas físicos son expansiones sobre$\infty$. No son necesariamente soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden.

Mecánica:

Considere un cilindro de masa M, área A y longitud$L_0$. Colóquelo verticalmente en el suelo (es decir, un extremo tocando el suelo, el otro extremo en el aire). Supongamos que el cilindro (como todo objeto sólido) tiene elasticidad, es decir, constante elástica, igual a K. Ahora, si el cilindro es infinitamente rígido, es decir, si K es igual a infinito, la longitud del cilindro no cambiará. debido a la gravitación, y será igual a$L_0$. Es decir, la gravedad no hará que se encoja, ya que K es infinito.

Pero, ¿y si el cilindro es rígido, pero algo elástico (como todo sólido real)? Entonces esperamos que la longitud sea menor que L, esperamos que se reduzca un poco. Entonces, buscamos una solución en la forma:$L=L_0 - \frac{1}{k} f_1(M,g,A,L_0)$, dónde$f_1$es la corrección de primer orden en términos de$\frac{1}{K}$. Puedes seguir encontrando las próximas correcciones en potencias de$\frac{1}{K}$.

Electrostática: Esta vez en electrostática. Ciertamente puede encontrar el campo eléctrico sobre el centro de un plano con densidad de superficie uniforme$\sigma$. Es$\frac{\sigma}{ 2 \epsilon}$. Ahora, supongamos que en lugar del plano infinito, que físicamente no existe, tenemos un disco circular de radio$R$, y tratamos de encontrar el campo eléctrico en su eje, a una distancia$h$desde el centro Puede calcular fácilmente el resultado, que es$\frac{\sigma}{2\epsilon} \bigg[ 1-\frac{h}{h^2+R^2}\bigg]$. Desde$R$es grande, puede Taylor-expandir esto en términos de$\frac{h}{R}$. El resultado es$\frac{\sigma}{ 2 \epsilon} -\frac{\sigma}{ 2 \epsilon} \frac{h}{R}+ \frac{\sigma}{ 4 \epsilon} \frac{h^3}{R^3} + \ldots$. Esta es una expansión sobre$R=\infty$.

termodinámica: casi todas las apariciones del término 'efectos de tamaño finito' en termodinámica, en transiciones de fase y en el campo de redes complejas le darían correcciones (que son básicamente expansiones truncadas) en potencias de la inversa del tamaño del sistema.

Finalmente, creo que puedo idear un ejemplo ilustrativo de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden donde hay una singularidad en$\infty$. Supongamos que hay un bloque rectangular largo de masa M en el suelo, sin fricción entre el bloque y el suelo. Supongamos que colocamos una masa$m$en el bloque, con fricción$\mu$entre los bloques. Suponer que$M$es grande, es decir,$m \ll M$. Ahora tiramos de la masa superior con fuerza constante$F$. Encuentre la velocidad del bloque (no la masa superior) en función del tiempo. Si escribe ecuaciones de movimiento, verá que para$M=\infty$, hay una singularidad, fácilmente removible, y la velocidad (o posición) del bloque es cero para$M=\infty$, y las correcciones son de orden$\frac{1}{M}$.