fondo: soy un guitarrista aficionado. Fui entrenado en música clásica india cuando era niño. La mayor parte de lo que sé en teoría musical es de libros o de Google. Así que siéntete libre de corregirme o decirme si me equivoco.
Una cosa que siempre me molestó es cómo surgió la escala mayor. Como estudiante de música clásica de la India, comencé con Sa, Re, Ga, Ma, Pa, Dha, Ni, Sa', que son análogas a las occidentales C, D, E, F, G, A, B, C' (Nota que la clave predeterminada para ambos es C). Por lo que puedo decir, los dos sistemas no parecen tener un origen común. Así que siempre me he preguntado si la escala mayor aparecerá naturalmente en cualquier sistema musical.
Siempre he creído que tiene que haber alguna razón matemática sobre cómo llegó a ser la escala mayor. He tratado de derivarlo yo mismo usando el intervalo perfecto como primer peldaño, pero nunca pude llegar a nada. Los libros y la web te informan sobre las propiedades derivadas de la escala mayor, pero no al revés.
Entonces, me preguntaba si alguien sabe cómo surgió la escala mayor. ¿Es alguna conclusión matemática natural sobre la forma en que percibimos la música o es solo un establecimiento antiguo? ¿Es realmente una coincidencia que dos sistemas musicales culturalmente diferentes tengan la misma base técnica?
tl; dr La respuesta simple es "La escala mayor proviene de la serie armónica".
No sé la historia, que sospecho que dice algo así como "la escala mayor es así porque a la gente le gustaba cómo sonaba". Pero sé las matemáticas, lo que puede ayudar a explicar por qué a la gente le gusta cómo suena.
Empecemos por los primeros principios, muchos de los cuales probablemente ya conozcas. Para empezar, el sonido es vibración. Percibimos el sonido a través de la vibración del tímpano y los pequeños huesos (el martillo, el yunque y el estribo) en nuestros oídos. Por lo general, escuchamos vibraciones en el aire, aunque cuando hablamos, nuestras cabezas también vibran, lo que contribuye al sonido que percibimos como nuestras propias voces. a la gente no le gusta el sonido grabado de su propia voz.
Entonces, una nota en su forma más pura es una vibración a cierta frecuencia, medida en Hertz (Hz). Por ejemplo, por convención en los Estados Unidos, las orquestas afinan a un tono de 440 Hz (un A).
Ahora, cuando decimos que un tono tiene una cierta frecuencia, como A es de 440 Hz, eso es principalmente una simplificación teórica. La mayoría de los sonidos no están compuestos por una sola frecuencia. Si canta un A o toca un A en una trompeta o un violín, el sonido resultante en realidad se compone de múltiples frecuencias simultáneamente: la frecuencia fundamental (440 Hz) y una serie de frecuencias relacionadas conocidas como la serie armónica . Qué miembros de la serie de sobretonos están presentes y en qué proporciones determina el timbre (o la calidad del tono) del sonido. Es lo que hace que la voz suene diferente a la de la trompeta y el violín. Entonces, de nuevo, cuando escuchamos un sonido, lo más frecuente es que escuchemos un collage de frecuencias relacionadas.
¿Qué es la serie armónica? Las frecuencias que componen la serie armónica son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. En el caso de A440, la serie de armónicos incluye 880 Hz, 1320 Hz, 1760 Hz, 2200 Hz, 2640 Hz, ... Teniendo en cuenta la equivalencia de octava, podemos generar frecuencias estrechamente relacionadas dentro de una octava de 440 Hz:
Todas estas frecuencias están presentes en la serie de armónicos, por lo que ocurren naturalmente, en diversos grados, cuando toca un A. Compare estas frecuencias con las frecuencias de los tonos de la escala mayor en Temperamento igual:
Bastante cerca, ¿verdad? Y, de hecho, Equal Temperament es un compromiso relativamente reciente desarrollado en respuesta a problemas como este . El punto es: las notas de la escala mayor provienen de los sobretonos naturales presentes en el sonido.
Las fuentes culturales de las escalas diatónicas son prehistóricas y los intentos de encontrar sus orígenes han incluido estudios de antiguas flautas de hueso. Las escalas diatónicas, incluido el modo mayor, ocurren en múltiples culturas, pero no en todas las culturas. Por ejemplo, la música gamelán de Indonesia utiliza escalas llamadas slendro y pelog, que no se parecen en nada a la escala mayor ni a ninguna otra escala diatónica. Las tríadas y la armonía tonal son mucho más nuevas que las escalas diatónicas y se remontan a la Europa del Renacimiento. En el período de práctica común (ca. 1600-1900) basado en la tradición musical europea, tenemos el sistema mayor-menor.
Estos hechos sugieren que debemos ser muy escépticos acerca de los intentos de derivar la escala mayor sobre la base de principios matemáticos. Es una de una variedad de herramientas musicales que se han utilizado en varios momentos como parte de diversas técnicas y culturas musicales. En cualquier intento de explicar la escala mayor a partir de la serie de armónicos o el círculo de quintas, tenemos el problema de que las diversas formas de la escala menor no encajan realmente.
Ciertamente, hay razones por las que técnicas musicales como el canto gregoriano, la polifonía y la armonía tonal funcionan mejor con una escala mayor que con una escala de pelog de Indonesia. Estas razones tienen orígenes matemáticos. Sin embargo, no pueden explicar el origen de la escala diatónica o lo que ahora llamamos el modo mayor, ya que son mucho más antiguos.
La tríada mayor está íntimamente ligada a la serie de armónicos de una nota fundamental dada.
Otra característica fisiológica es que identificamos todas las notas cuyas proporciones de frecuencia son potencias de 2 (2, 4, 8, 16...) como la misma nota; se informa ampliamente que la música de todas las culturas identifica las diferentes octavas de un determinado tono como la misma nota. Esto también significa que podemos reducir en octava las notas indicadas anteriormente para ponerlas todas en la misma octava.
La siguiente relación más básica es la quinta, que corresponde a una relación de frecuencia de 3x.
Por lo general, el 4º se identifica como la nota cuyo 5º es la tónica, tenga en cuenta que el quinto sobre F es C. Por lo tanto, el 4º es el inverso del 5º.
La quinta de la quinta es D (la quinta de C es G, la quinta de G es D), por lo que esta nota se obtiene por composición simple de un intervalo simple.
En principio, todas las notas pueden generarse mediante la combinación de quintas, lo que da como resultado una afinación pitagórica .
Sin embargo, la mayoría de las teorías modernas de tonos toman la tercera mayor, correspondiente a una relación de frecuencia de 5x, también como fundamental. La combinación de quintas, terceras y sus inversas (cuartas y sextas) produce una entonación justa .
Arnold Shoenberg, en su Teoría de la Armonía , muestra que la escala diatónica mayor está constituida por las tríadas mayores de los tonos tónico, dominante y subdominante. Por ejemplo, esto significa que la escala diatónica de do mayor se puede construir solo con los tonos de los acordes de do mayor, sol mayor y fa mayor.
Señala que las notas de una tríada mayor son exactamente las notas de los tres primeros armónicos únicos , lo que indica una posible fuente del poder de las tríadas mayores. También se ha reconocido desde Pitágoras que los tonos cuyas frecuencias se encuentran aproximadamente en pequeñas proporciones enteras suenan "consonantes" y agradables cuando se tocan simultáneamente o poco después de otro.
En cuanto a por qué una escala tan reverenciada debería basarse en la tónica, la dominante y la subdominante, podemos volver a tomar nota de la serie armónica y Pitágoras. La dominante se asienta en una relación de frecuencia de 3/2 con respecto a la tónica, siguiendo al segundo armónico único en la serie armónica basada en la tónica. De manera relacionada, la tónica se encuentra en una relación de frecuencia de 3/2 a la subdominante.
Si tiene acceso a un teclado de piano estándar, intente tocar solo los tonos C (tónica), F (subdominante) y G (dominante) en varias secuencias y ritmos. Prueba a comparar el efecto de la tónica con otros pares de tonos (C, A y C#, por ejemplo). Descubrí que ninguna otra combinación de solo tres tonos sirve mejor para inculcar la sensación de "hogar" en la nota C.
Además, toque la escala de Do mayor, una nota a la vez, hacia arriba y hacia abajo en una variedad de ritmos. Dado que la escala mayor consiste completamente en notas de las tríadas mayores tónica, dominante y subdominante, intente modificar la actividad de la siguiente manera: junto con cada nota de la escala, toque un acorde de los acordes mayores C, F o G, eligiendo solo un acorde que posea la nota que se está tocando en ese momento. Entonces puedes tocar C con CEG, D con GBD, E con CEG, F con FAC, G con CEG, A con FAC, B con GBD y finalmente C con CEG, por ejemplo. Encuentro que tocar junto con los acordes se siente como una versión muy completa de tocar la escala solitaria. Intente sustituir los acordes mayores de tónica, subdominante y dominante con otros acordes en la escala de Do mayor (o incluso acordes de la escala cromática), aún solo tocando un acorde cuando posee el tono que se está reproduciendo actualmente en la escala. Parece que jugar con la tónica, las tríadas mayores subdominantes y dominantes forman la expansión más agradable y representativa de la escala mayor solitaria que cualquier otro tres acordes (aunque otras combinaciones son agradables e interesantes).
A la luz de esto, tocar la escala diatónica en un movimiento paso a paso parece tener el efecto de alternar entre las "tres áreas" (tónica, dominante y subdominante) de una clave, proporcionando un contorno armónico de importancia fundamental de forma algo automática.
Como breve indicación de otro factor importante, tenga en cuenta la constitución inherente de los acordes menores y su actividad potencial en la escala mayor. El segundo y tercer tono de la escala mayor pueden verse como subdominante y dominante, respectivamente, del sexto tono. Intente los ejercicios nuevamente, pero usando el sexto tono como su tónica y acordes menores en lugar de los acordes de tónica mayor, dominante y subdominante (tocando así la escala menor con respecto al sexto tono en nuestra escala mayor original).
Esos son algunos puntos que se destacan en mi mente sobre cómo la escala diatónica mayor podría ser tan importante en la música.
Es bastante fácil "construir" la escala mayor agregando quintas perfectas (y ajustando octavas para mantener las frecuencias resultantes juntas). Comience desde C y obtendrá (en este orden) G, D, A, E, H y F sostenidos, que es toda la escala de G mayor. (Para obtener C mayor, debe comenzar desde F). Tenga en cuenta que si se detiene después de cinco pasos, obtiene una escala pentatónica estándar.
Ahora, esta escala tiene algunas buenas propiedades prácticas: llena la octava con un número manejable de frecuencias (7), contiene solo dos intervalos diferentes, y esos dos no son muy diferentes entre sí. (En la práctica, sin embargo, probablemente no sea así como se creó inicialmente: la música tonal occidental se deriva de sistemas anteriores con menos tonos (cuatro, cinco o seis), y esos no eranconstruible acumulando quintas perfectas, pero notas 'adyacentes' (segundos mayores o menores). Por ejemplo, era mucho más común usar CDEFG en lugar de CDEGA, por lo que la construcción del "intervalo perfecto" es probablemente una racionalización post facto de una escala que los profesionales ya habían encontrado sin consideraciones matemáticas. Creo que es bueno que haya más de una explicación para algo tan fundamental como el repertorio de tonos en el que la gente silba, tararea y canta).
Creo que aquellos que dicen que comienza con el uso de la relación 3:2 tienen razón. Schoenberg también tiene razón, pero ya existía un sistema de 7 notas antes de que se reconociera la escala mayor, por lo que su explicación comienza en el "medio", por así decirlo. Llamamos a la relación de frecuencia 3:2 la relación de frecuencia para una quinta, pero, por supuesto, tenía que existir una escala o modo o sistema de tonos antes de que alguien pudiera llamarla quinta, ya que esto se refiere a la relación de los dos tonos dentro de una escala (o modo o sistema).
Apilando quintas y telescopándolas hacia abajo para que los tonos estén dentro de una octava o, quizás mejor, alternando una quinta arriba, una cuarta abajo, una quinta arriba, una cuarta abajo, es relativamente fácil ver por qué uno se detendría cuando llegar al tono 8, porque da una nota fuera de la octava. Cuando la nota se lleva dentro de la octava, da como resultado una nota muy cercana a la nota inicial y crea un intervalo gradual que no existe dentro de los primeros siete. Me explico con un ejemplo:
Se puede usar cualquier frecuencia para comenzar, pero es más fácil pensar en la nota inicial como la F en nuestro sistema moderno, porque eso creará las 7 notas naturales (teclas blancas en el piano). Subiendo un quinto, bajando un cuarto (o multiplicando la frecuencia por 3/2, y luego la siguiente por 3/4) da como resultado lo siguiente: FCGDAE B. Alineándolos de menor a mayor da: FGABCD E. Podríamos remate con otro F, que vendría de multiplicar la frecuencia inicial por 2, lo que da una nota una octava más alta. De hecho, nos da la razón para llamarlo octava, porque es la octava nota de la lista. Cuando se aplican las matemáticas a las frecuencias de esta lista, los intervalos creados entre notas adyacentes tienen dos tamaños. Llamémoslos L (para grande) y S (para pequeño). Esto es en lugar de paso completo, medio paso, que viene después. El patrón es LLLSLLS. Agregando la siguiente nota arriba de B en la primera lista, obtienes la nota que llamaríamos F#, pero está fuera de la octava en el esquema de 5ta arriba, 4ta abajo, y cuando se lleva a la octava, F a F# intervalo, resulta no ser ni el intervalo de paso L ni el S. Entonces, hay razón para detenerse en la nota que llamamos B.
Al agregar duplicaciones de octava de estas 7 notas, se amplía el sistema básico. Eventualmente, se nombran las notas y se agregan notas adicionales, alteraciones. Hemos estado usando los nombres como los conocemos, pero en un momento, esos nombres aún no existían. Los modos medievales existen en este sistema extendido. Las terceras principales FA, CE y GB dentro de este sistema eran bastante disonantes en la mayoría de los instrumentos porque se producían "golpes" rápidos entre armónicos casi coincidentes. La relación de frecuencia de estas terceras principales es 81:64. Se produce un intervalo mucho más consonántico si la proporción es 80:64, que se reduce a 5:4. Esta es una proporción que ocurre naturalmente en la serie armónica. El deseo de usar este intervalo es lo que lleva al concepto de temperamento, que es un tema completamente nuevo. Pero para el propósito actual,
Me gustaría agregar que he tratado de mantener las matemáticas al mínimo aquí, pero las matemáticas ayudan cuando se trata de profundizar en este tema, y las matemáticas requeridas son principalmente aritmética con fracciones. Las matemáticas también ayudarán a entender lo que significa "latir entre armónicos casi coincidentes". El desarrollo teorizado aquí es el sistema de escala occidental. Me parece razonable que algo similar pudiera haber ocurrido en la India, pero se siguieron otros caminos en el camino para dar cuenta de las muchas diferencias entre los sistemas.
Sa, Re, Ga, Ma, Pa, Dha, Ni, Sa es el equivalente raga del occidental Do re me fa so la te do.
La escala mayor tiene los mismos intervalos que Shankarabharanam.
La escala armónica menor tiene los mismos intervalos que Keeravani
La escala melódica menor tiene los mismos intervalos que Gourimanohari
¡Pero tenemos 12 versiones de cada escala! eso sería como 12 Shankarabharanam ragas todos mirando en diferentes notas. Cada Shankarabharanam diferente tendría su propio Sa Re Ga
Todas las escalas occidentales se originaron en la India y fueron transferidas al Agean, Anatolia y, finalmente, al norte de África por los romaníes a partir de las confluencias greco-indias del siglo X a. Occidente los obtuvo de Grecia, Anatolia, Egipto y Arabia.
TODAS son escalas indias. Busque en los eruditos indios y árabes el origen último de toda la música occidental.
( https://www.amazon.com/Raga-Guide-Survey-Hindustani-Ragas/dp/B00000JT5P )
Para una visión occidental más estrecha, consulte Helmholtz ( https://books.google.co.uk/books?id=2CiqYQXZjIYC&pg=PA15#v=onepage&q&f=false )
Hay otra razón (estructural/matemática) para favorecer la escala mayor, relacionada con la uniformidad de la escala.
Para entender esto, permítanme un pequeño desvío, combinando observaciones históricas y estructurales.
El primer punto básico que quiero señalar es que debemos distinguir entre la escala mayor y la clase de tono asociada con ella. La escala mayor contiene varios tonos, en ciertas proporciones, junto con un tono que es la tónica. En do mayor, la tónica es do. Ahora, también podríamos mirar la clase de tono {do, re, mi, fa, sol, la, si} pero sin enfatizar la idea de que cualquiera de estos tonos debe ser la tónica. Esto generaliza su pregunta para incluir todos los modos de la escala mayor, que, después de todo, se usan con mucha frecuencia en varias tradiciones musicales.
Ahora, es fácil imaginar a los humanos antiguos cantando un solo tono y luego descubrir gradualmente que otros tonos suenan bien con ellos. La serie de sobretonos explica bastante bien por qué suenan bien las quintas y las cuartas por encima o por debajo de una nota, y quizás las terceras mayores por encima o por debajo de una nota. Pero como muchos han señalado aquí, parece falso usar la serie de armónicos para motivar toda la escala mayor. Tales explicaciones parecen fáciles de hacer después, pero en realidad no explican de manera plausible cómo los humanos antiguos realizaron este viaje musical en particular. Después de todo, no tenían los conceptos que tenemos hoy, por lo que no les habría parecido obvio en absoluto.
Dicho esto, si una cultura Antigua adopta los intervalos musicales de quinta/cuarta y terceras/sixtas mayores/menores, esto tiene enormes implicaciones matemáticas, ya que el uso de esos intervalos implica algún tipo de división de la octava en 12 tonos (aunque no necesita ser una división igualmente templada). Digo 'implícito' aquí porque, con toda probabilidad, habría tomado mucho tiempo para que alguien realmente descifrara estas implicaciones.
Lo que parece plausible es lo siguiente: es muy probable que los humanos antiguos que experimentaban con el canto intentaran agregar más tonos a su repertorio a medida que avanzaban. Podemos imaginarlos creando canciones que usen 3, 4 o 5 tonos diferentes. Por supuesto, no podemos saber qué tonos usaron, pero es totalmente razonable suponer que ampliaron su vocabulario gradualmente.
En términos de la música del mundo que se conoce hoy en día, hay una escala (o clase de tono) que ciertamente se destaca: la escala pentatónica . Muchas culturas musicales del mundo utilizan esta escala. Entonces, antes de preguntar '¿por qué la escala diatónica?' podríamos preguntar '¿por qué la escala pentatónica?'. Lo primero que hay que observar, por cierto, es que la escala pentatónica se puede utilizar con cualquiera de sus cinco posiciones de escala como centro clave (por ejemplo, si ese tono es un zumbido sobre el que se toca el resto de la escala). Lo interesante de la escala pentatónica es esto: es la más uniformeEscala de 5 notas (eligiendo 5 notas de las 12 de la octava) que se te ocurra. Los intervalos se distribuyen de manera más uniforme. Pero además, los intervalos que existen entre las 5 notas de la escala tienen características interesantes. Por ejemplo, tiene muchos intervalos de tipo quinta/cuarta, sin tritono ni semitono. Todo esto la convierte en una escala muy consonante, que es bastante fácil de cantar. Cualquier otra escala de 5 notas estrechamente relacionada es mucho menos consonante.
Ahora llegamos a la escala diatónica. Creo que su atractivo puede explicarse por motivos similares. Me gusta imaginar a los humanos antiguos simplemente tratando de agregar notas adicionales a la escala pentatónica de forma experimental. (De hecho, solo necesita agregar dos para obtener una escala mayor). La escala mayor resultante es nuevamente la más uniforme de todas las escalas de 7 notas posibles (como en: los intervalos se distribuyen uniformemente). Recuerde el patrón w - w - h - w - w - w - h. Esta es la forma más uniforme de distribuir siete notas en la octava. De las escalas distribuidas de manera más uniforme (compárese con la escala menor melódica), también es la que tiene menos tritonos. Tiene muchas cuartas y quintas que son fáciles de cantar. Además, se pueden cantar todo tipo de melodías de estilo pentatónico como parte de la escala mayor. Además, la escala mayor da lugar a la armonía terciaria, que nuevamente puede estar motivado apelando a la serie armónica. Las escalas pares también tienen muchas posibilidades de conducción de voz armónicamente. (Puede ir a diferentes acordes moviendo solo una o dos de las voces en un pequeño paso).
El concepto de uniformidad se explica con más detalle en el excelente sitio web de Ian Ring A Study of Scales : https://ianring.com/musictheory/scales/#evenness
La tríada principal de C es CEG (3.°, 4.° y 5.° armónicos de C). C cae a F (cadencia perfecta). La tríada principal de F es FAC (3.°, 4.° y 5.° armónicos de F). Ahora tenemos 4 notas: C, E, G, F y A. G cae a C (cadencia perfecta). La tríada de G es G, B y D. Ahora hay 7 notas: C, E, G, F, A, B y D.
En resumen, hay una familia de notas asociadas con C (algo así como que todos tienen un hogar al que ir, y todos son el hogar de otra persona). C cae a F y G cae a C. Este es el origen de la escala de 7 notas.
Por lo que puedo decir, los dos sistemas no parecen tener un origen común.
Los dos sistemas tienen un principio organizador común, que es la ejecución de una melodía sobre un dron. Este ya no es un elemento prominente de la música europea, pero fue dominante en la Edad Media y quizás antes. Si bien esto puede no explicar con precisión todos los tonos de la escala mayor, sí explica la prominencia de los tonos que están relacionados con el tono del zumbido mediante proporciones numéricas simples. Eso nos da (al menos) la raíz, la octava y los tonos que ahora conocemos como tercera y quinta. El hecho de que se trate de proporciones numéricas simples significa que son relativamente bajos en la serie armónica, por lo que interfieren directa y audiblemente con los sobretonos del tono del dron.
Digo "al menos" porque los tonos entre los cuatro tonos de la "tríada principal" son algo más disonantes, pero la serie armónica aún puede explicar su afinación precisa. El tono entre 1:1 y 5:4 suena más vibrante si se sintoniza en 9:8. Lo mismo ocurre con el tono entre 5:4 y 3:2 si está afinado en 4:3.
Cualquiera que sea la afinación que se prefiera en ausencia de un dron, por lo tanto, los tonos gravitarán hacia estas proporciones con la adición de un dron bajo. No creo que la escala mayor aparezca naturalmente en ningún sistema musical, pero sospecho que al menos hay un sesgo muy fuerte a favor de la escala mayor en los sistemas musicales que presentan la interpretación de melodías con drones.
Dadas las conexiones lingüísticas y antropológicas entre el subcontinente indio y Europa occidental, sospecho que, de hecho, existe un origen común para estos sistemas, aunque los detalles de estas similitudes y su transmisión a través de Eurasia occidental están oscurecidos por el paso de los milenios.
Si tocó 2 notas que suenan más armoniosas, elegiría notas que están separadas por octavas. Estos tienen una relación de frecuencia de 2:1 (o 4:1 u 8:1, etc.) pero esto no lo lleva muy lejos al derivar una escala, por lo que el siguiente intervalo musical "más agradable" es cuando las notas están en el relación de frecuencia 3: 2: esto producirá una G de una C. La mayoría de las respuestas anteriores han aludido a esto y la gente a veces se refiere a esto como un círculo de quintas.
A partir de F obtienes la escala C maj y, si continúas, forma progresivamente todas las escalas mayores en todas las teclas en un instrumento estándar de tono fijo como un piano o una guitarra. Creo que esto hace que la escala mayor sea muy especial.
Si tomara el siguiente intervalo más agradable, elegiría 4:3 y este es un cuarto perfecto. Puede obtener el mismo resultado que una quinta perfecta pero bajando de tono. ¡Esto debería ser obvio para algunas personas!
Perdóname. Soy un novato y si he repetido partes de otras respuestas, lo siento, pero no conozco ninguna otra escala que se base en proporciones de frecuencias tan simples.
La verdadera respuesta es que es una organización de los primeros siete tonos de una serie que depende de una cantidad dada de tonos separados que tienen la relación matemática más cercana. Por ejemplo, los primeros dos tonos de la serie son 2:3, mientras que los primeros cuatro son 2:3:4.5:6.75, y así sucesivamente.
Los primeros siete tonos de esta serie son significativos porque contienen todos los intervalos matemáticos presentes en el sistema cromático (que también está justificado, pero no voy a entrar en eso).
Si intentara organizar estos tonos en una escala ascendente que tenga la menor disonancia compuesta, el resultado final es la escala mayor. El sonido consonante más simple de este resultado/organización hace que muchas personas interpreten las relaciones tonales en términos de esta escala (y su derivada menor).
PD: intentar justificarlo con la serie de armónicos ha resultado en un estrepitoso fracaso de gimnasia mental. A menudo, la causa de esto es simplemente porque comparten la base en proporciones de números enteros.
Ulf Åkerstedt
dave
bestia de hojalatero
dave
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