Considere el siguiente gráfico:
La línea azul indica la altura máxima desde la línea hasta la parábola. Dejar y . Mirando las coordenadas podemos encontrar que . ¿Cómo podemos demostrarlo para la situación general?
(Para más información:
Parábola
Línea
Supongo que estas ecuaciones no son necesarias. Esto es cierto para cualquier parábola y línea como arriba).
(Pregunté esto para obtener ayuda sobre una pregunta sobre PSE y mi propia respuesta para eso)
No lo veo tanto como un problema analítico. Es una propiedad geométrica fundamental de las parábolas. Tu ecuación define una parábola que tiene un eje vertical. Dejar ser el acorde, y dejar sea el punto del segmento más alejado de esa cuerda. Línea de construcción , a través de y paralelo a . Deja puntos y acostarse en el -eje, tal que y ambos son verticales, y dejemos encontrarse en el punto .
Línea puede encontrarse con la parábola en un solo punto. (De lo contrario no sería el punto más alejado de la cuerda.) Eso hace que tangente a la parábola. Línea es vertical, por lo que es un diámetro de la parábola. Cualquier cuerda paralela a es bisecado por este diámetro, por lo que es el punto medio de . Esta propiedad de bisección fue cubierta por Arquímedes en Cuadratura de la parábola (Proposición 1), y por Apolonio en Conica (I,46).
Línea es paralelo a y biseca , por lo que también debe bisecar . Lo que hace el punto medio de .
La distancia máxima de la parábola a la línea está en el punto donde la tangente a la parábola es paralela a la línea. la pendiente de la recta es y la derivada de la función que define una parábola:
La intersección de la recta y la parábola está en dónde
Dado que no es bueno probar para un ejemplo numérico, aquí estoy tratando de probarlo para una situación general, inspirándome en las otras respuestas .
Sean las ecuaciones de la parábola y la recta
Citando la respuesta de CiaPan ,
La distancia máxima de la parábola a la línea está en el punto donde la tangente a la parábola es paralela a la línea.
La derivada de la función de la parábola es,
entonces,
De (1) y (2) obtenemos,
Lo que tenemos que probar es
CiaPan
Pauca inteligente