Prueba de geometría de hipérbola

Los puntos$(r\cos \theta, r \sin \theta)$y$(s \cos(\theta + \frac{\pi}{2}), s \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) )$mentira en la hipérbola$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$con centro$O$.

Muestra esa:

$\frac{1}{r^2} + \frac{1}{s^2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$

y por lo tanto eso$e > \sqrt{2}$.

Intenté poner las coordenadas en la ecuación de la hipérbola y luego combinarlas y simplificarlas, pero este camino no parece acercarse a la solución. El ejercicio del que proviene esta pregunta se refiere a los métodos geométricos para resolver la cuestión de las cónicas, pero tampoco puedo ver ninguna forma en la que la geometría pueda ser de ayuda aquí.

Cualquier ayuda sobre cómo abordar esta pregunta sería muy apreciada.

Gracias.