Demuestre que las asíntotas de una hipérbola son sus tangentes en los puntos infinitos

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Demuestre que las asíntotas de una hipérbola son sus tangentes en los puntos infinitos

geometría
Matemáticas
secciones cónicas
geometría analítica
geometría-proyectiva

Empuje

En el sentido del plano proyectivo, una hipérbola (proyectiva) es solo un cono elíptico en 3D con el punto de proyección como el pico del cono. $O$ , y con el "plano de nivel" (sobre el cual proyectar) inclinado de manera que interseca con ambas mitades del cono, donde la imagen de proyección en el plano de nivel es una curva de hipérbola en el sentido habitual, como ilustra la siguiente imagen:

Ahora quiero mostrar que ambas asíntotas de la hipérbola, en el plano proyectivo, intersecan a la hipérbola (el cono) exactamente una vez, es decir, ambas son tangentes a la hipérbola (el cono) en el infinito.

He demostrado que el cono tiene exactamente dos puntos infinitos, los cuales tienen exactamente una línea tangente proyectiva (un plano tangente al cono). Donde tengo problemas es que no sé por qué estas dos líneas tangentes (planos) se proyectarán exactamente sobre las asíntotas en el plano de nivel. Claro, una cosa a tener en cuenta es que ambas se cruzan con la hipérbola (el cono) exactamente una vez en el infinito y en ninguna parte del "plano ordinario" (el plano de nivel), al igual que las dos asíntotas no se cruzan con la curva de la hipérbola en el nivel avión. El problema es que, desafortunadamente, hay muchas otras líneas además de las asíntotas que no se cruzan con la hipérbola en el plano nivelado, y parece que no se pueden distinguir de esta manera.

editar acaba de elaborar una técnica de perturbación que puede diferenciar las asíntotas y otras líneas que no se cruzan con la hipérbola, observando que las asíntotas, si se perturban un poco, se cruzarán con la curva de la hipérbola, mientras que otras líneas son "estables" bajo la perturbación. Entonces, este problema está básicamente resuelto, pero los nuevos enfoques también son bienvenidos y apreciados.

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amd · Answer 1

Aquí hay un enfoque diferente. Trabajando en coordenadas homogéneas, la ecuación de una cónica se puede escribir como $\mathbf x^TC\mathbf x=0$ , dónde $C$ es una matriz simétrica. Usando propiedades polo-polares no es muy difícil mostrar que todas las rectas tangentes $\mathbf l$ a una cónica $C$ satisfacer la ecuación dual $\mathbf l^T C^{-1} \mathbf l=0$ y que el punto de tangencia es el polo de la recta, $C^{-1} \mathbf l$ .

Dado que la intersección y la tangencia son propiedades afines, wlog solo necesitamos examinar la hipérbola rectangular estándar $x^2-y^2=1$ . su matriz es $C=\operatorname{diag}(1,-1,-1)$ , que es su propio inverso. Las asíntotas de esta hipérbola son las rectas $x\pm y=0$ , con sus correspondientes vectores homogéneos $\mathbf l=[1:1:0]$ y $\mathbf m=[1:-1:0]$ . Entonces tenemos para los puntos de tangencia $C^{-1}\mathbf l=[1:-1:0]$ y $C^{-1}\mathbf m=[1:1:0]$ , los cuales son puntos en el infinito, como se postula.

Viniendo a él desde una dirección diferente, las tangentes a través de un punto $\mathbf p$ a una cónica no degenerada $C$ están dadas por la cónica degenerada $\mathcal M_{\mathbf p}^T C^{-1} \mathcal M_{\mathbf p}$ .† Aquí, $\mathcal M_{\mathbf p}$ es la “matriz de productos cruzados” de $\mathbf p$ , es decir, $\mathcal M_{\mathbf p}\mathbf x = \mathbf p\times \mathbf x$ . Las tangentes a nuestra hipérbola estándar a través de su centro, en este caso el origen $\mathbf p=[0:0:1]$ -son entonces

[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}],

$\begin{bmatrix} 0&1&0 \\ -1&0&0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&-1&0 \\ 0&0&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&-1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix},$ que corresponde a la ecuación cartesiana

x^{2} - y^{2} = 0

$x^2-y^2=0$ . Factorizando esto en

(x + y) (x - y) = 0

$(x+y)(x-y)=0$ , encontramos que las asíntotas de la hipérbola son las tangentes por su centro. Los puntos de tangencia se pueden encontrar como se indicó anteriormente, o homogeneizando las dos ecuaciones y resolviendo el sistema resultante:

\begin{aligned} X^{2} - y^{2} - w^{2} & = 0 \\ X^{2} - y^{2} & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} x^2-y^2-w^2 &= 0 \\ x^2-y^2 &= 0 \end{align}$ con solucion

x = \pm y

$x=\pm y$ ,

w = 0

$w=0$ , es decir, los puntos con coordenadas homogéneas

[1 : \pm 1 : 0]

$[1:\pm1:0]$ , como anteriormente.

Por cierto, todas las cónicas no degeneradas son proyectivamente equivalentes. Una vez que haya elegido la línea en el infinito, se pueden distinguir por el número de intersecciones con esta línea: cero para elipses, uno para parábolas y dos para hipérbolas. El centro de una cónica (si lo tiene) es el polo de la recta en el infinito, por lo que del resultado anterior podemos encontrar que los puntos de tangencia de las asíntotas de una hipérbola son precisamente sus intersecciones con la recta en el infinito.

†: Esta es una consecuencia de la ecuación cónica dual anterior. Una recta que pasa por dos puntos viene dada por su producto vectorial, por lo que cada punto $\mathbf x$ en una tangente a través del punto $\mathbf p$ satisface la ecuación

(pag \times X)^{T} C^{- 1} (pag \times X) = ({METRO}_{pag} X)^{T} C^{- 1} ({METRO}_{pag} X) = X ({METRO}_{pag}^{T} C^{- 1} {METRO}_{pag}) X = 0.

$(\mathbf p\times \mathbf x)^T C^{-1} (\mathbf p\times\mathbf x) = (\mathcal M_{\mathbf p}\mathbf x)^T C^{-1} (\mathcal M_{\mathbf p}\mathbf x) = \mathbf x(\mathcal M_{\mathbf p}^T C^{-1} \mathcal M_{\mathbf p})\mathbf x = 0.$

Gracias. ¿Qué significa cuando usas una coordenada homogénea? $\mathbf l$ para representar una línea? ¿Es el vector normal del plano el que determina la recta?
@Vim Exactamente. Empacas los coeficientes de la ecuación. $ax+by+c=0$ en un vector $\mathbf l=[a:b:c]$ de modo que la ecuación de la recta se convierte en $\mathbf l^T\mathbf x=0$ . Si modelas el plano proyectivo como el $z=1$ avion en $\mathbb R^3$ , esta es la normal del plano en $\mathbb R^3$ que corresponde a una línea en $\mathbb P^2$ . Tenga en cuenta que estos vectores son covariantes, por lo que se transforman de manera diferente a los vectores que representan puntos. Esta representación también le permite sacar mucho provecho de la dualidad de la línea de puntos del plano proyectivo.

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