¿Por qué el tiempo de vuelo de un proyectil en un plano inclinado es igual al doble del tiempo que tarda en alcanzar la máxima distancia normal al plano inclinado?

Has hecho una buena pregunta.

…no me parece que el proyectil sea una simple parábola (como en el caso del suelo) que se pueda “cortar” por la mitad. Entonces, ¿por qué funciona esto?

Realmente contrasta con la simetría. Pero no tiene nada que ver con la simetría. Lo entenderás mejor con los siguientes gráficos.

Aquí la línea negra indica la trayectoria de la pelota y la línea marrón es el plano inclinado.

Como explicó con precisión @John Rennie,

....la palabra "pico" significa la distancia máxima desde el plano medida normal al plano. No significa la altura máxima medida desde la horizontal. 

Los he marcado como 'A' y 'B' respectivamente.

Si intenta graficar esto usted mismo, se dará cuenta de que las distancias$a$y$b$en la siguiente imagen son iguales (Esta propiedad fue descubierta por Arquímedes ).*

Como no hay aceleración horizontal , la cantidad de tiempo que tarda la pelota en pasar$a$y$b$son iguales (considere el movimiento horizontal). Eventualmente llegará a la conclusión de que el tiempo de vuelo se obtiene al duplicar el tiempo para alcanzar el pico (A).

Por lo tanto, no se debe a la simetría, sino a la propiedad especial de intersección de una línea recta y una parábola.

Espero que esto ayude.

PD: @Fredriksy también ha explicado lo mismo en su respuesta,

Parece que le preocupa que la trayectoria de vuelo después de rotar la imagen (ejes xy) NO sea una parábola. Sin embargo, esto no es realmente importante para determinar el tiempo de vuelo.

Supongo que con esta explicación y mis gráficos entenderás mejor. Buena suerte.

*Puedes encontrar la demostración matemática aquí .
^{(Gracias especiales a @CiaPan y @Pope)}

EDITAR:

¿Puedes observar algo más interesante? Si considera una proyección relativa al plano horizontal, el plano horizontal también será una cuerda a la trayectoria, que es una parábola. Por lo que la observación, 'al duplicar el tiempo que se tarda en alcanzar la altura máxima con respecto al plano considerado , se obtiene el tiempo de vuelo', también puede interpretarse como resultado de esta propiedad especial de la intersección, aunque obviamente parece ser una consecuencia debido a la simetría :-)

Creo que tiene un malentendido sobre por qué su solución funciona.

Tienes razón en que una trayectoria parabólica alcanzará su punto máximo en la parte superior y tardará el mismo tiempo en descender. Sin embargo, esto no se limita solo a la trayectoria parabólica verticalmente simétrica.

En su caso, ha separado correctamente las velocidades y aceleraciones x e y como

Parece que le preocupa que la trayectoria de vuelo después de rotar la imagen (ejes xy) NO sea una parábola simétrica verticalmente. Sin embargo, esto no es realmente importante para determinar el tiempo de vuelo . Lo único que importa es$v_y$Y$a_y$En tu imagen girada. la direccion x$v_x$Y$a_x$que hacen que su trayectoria de vuelo no sea simétrica/parabólica no afecta el tiempo de vuelo, solo afectará el lugar donde aterriza. Lo diré de nuevo, el camino no necesita ser simétrico o parabólico de modo que el tiempo que tarda en llegar a la cima sea igual al tiempo que tarda en llegar al suelo .

Así que la pregunta entonces es, ¿por qué es$t_{\text{up}}=t_{\text{down}}?$

Argumento:

esta vez sabemos, por la simetría en el$y$movimiento entre las fases ascendente y descendente (acelerado uniformemente$y$movimiento), que el$v_y(t=\text{Return})$cuando baja es$-v_y(t=0)$. Así que queremos saber el tiempo que tarda en ir de$0$velocidad (la parte superior) a$-v_y(t = 0)$al tocar el suelo.

Otro ejemplo es que si hay viento que sopla en la dirección x, si lanzas la pelota al aire, alcanzará su punto máximo y luego descenderá.$t_{\text{up}} = t_{\text{down}}$, aunque la pelota caerá en otro lugar completamente debido al viento.

Editar: agregó algunos$t = 0$notas para aclarar cosas

Su método funciona bien y la razón es esta.

Para un proyectil disparado sobre suelo horizontal, el tiempo de vuelo es el doble del tiempo que tarda en llegar al punto más alto.

Este tiempo puede calcularse considerando únicamente las componentes verticales; es el mismo tiempo que tardaría un proyectil disparado verticalmente hacia arriba en subir y bajar, es decir, las componentes horizontales de la velocidad pueden ignorarse.

Cuando giras los ejes, es como un proyectil disparado en ángulo.$\theta$al suelo horizontal, con$g$reducido a$g\cos\alpha$sino una aceleración 'horizontal'$g\sin\alpha$añadido al proyectil.

Sin embargo, este componente 'horizontal' no afecta el tiempo para recorrer diferentes distancias sobre el plano, por lo que el tiempo para alcanzar la distancia máxima es nuevamente la mitad del tiempo del movimiento completo.

Tenga en cuenta que si dibujó una línea perpendicular al plano inclinado donde se lanzó el proyectil y una línea perpendicular al plano inclinado donde aterrizó el proyectil, entonces una línea de distancia trazada entre estas dos líneas paralela al plano define el tiempo completo. de vuelo del proyectil (hasta donde aterriza de nuevo en la pendiente), digamos$t$.

El "punto más alto" del proyectil corresponde a la línea de mayor longitud medida perpendicularmente al plano inclinado desde el plano inclinado hasta la trayectoria del proyectil. En otras palabras, una tangente en ese punto sobre la parábola es paralela al plano inclinado. Esto corresponde al tiempo$\frac{t}{2}$ya que el plano xy ha sido rotado por$\alpha$, y la aceleración$g$es ahora$gcos\alpha$con una aceleración$gsin\alpha$paralela a la pendiente.

Tenga en cuenta que si eliminara la inclinación, la trayectoria tomada por el proyectil se parecería a una parábola perfecta y aparecería la simetría que esperaría y, por lo tanto, por qué pensaría eso.

Es lo mismo que introducir una aceleración en dirección horizontal para una pelota lanzada en un plano horizontal. El plano inclinado debe coordinarse de modo que la línea inclinada sea el eje x y una línea ortogonal a ella el eje y. También hay una aceleración en la dirección x. Esto no alterará la altura de la parte superior de la parábola. Sólo su posición x. La gravedad vertical se reduce en este sistema de coordenadas. La bola seguirá alcanzando su cima en la mitad del tiempo que sin esta nueva fuerza horizontal. La trayectoria (parabólica) de la pelota se apretará o alargará de manera desigual (cuando se lance desde la parte superior del plano inclinado). El tiempo para llegar a la cima y el tiempo desde la cima hasta el aterrizaje no se modificarán. Solo el movimiento horizontal será diferente (no lineal)

queremos maximizar$\vec{s} \cdot \hat{n}$dónde$n$es la unidad normal a la rampa.

Puntee ambos lados con$\hat{n}$:

Diferenciar ambos lados con el tiempo:

Para el caso máximo, debe ser que$\frac{d}{dt} ( \vec{s} \cdot \hat{n})=0$, por lo tanto por reordenamiento:

Encontramos$\vec{u} \cdot \hat{n} = |\vec{u}| \sin \theta$y$\vec{a} \cdot \hat{n}=| \vec{a} | \cos \alpha$(por geometría):

Belleza de la prueba anterior: ¡en ninguna parte usé coordenadas o componentes!

La distancia desde el plano inclinado no tiene que medirse normal al plano. Se puede medir en cualquier ángulo fijo, y el punto de máxima distancia será el mismo. En particular, utilizando el original$y$y$z$coordenadas en el diagrama de OP, podemos definir el pico usando la distancia vertical

El valor máximo de$Z$ocurre cuando$0 = dZ/dy = dz/dy - \tan\alpha$, es decir, cuando la trayectoria tiene pendiente$\tan\alpha$y tiene una recta tangente paralela al plano inclinado. Esto es exactamente lo mismo que el criterio cuando se mide la distancia normal al plano.

Podemos ver todo el problema en las coordenadas$(y,Z)$, que son una transformación de cortante afín de las originales. Tenemos$dy/dt = \mathrm{const}$y$d^2Z/dt^2 = d^2z/dt^2 = -g$. Así que el movimiento de un proyectil en$(y,Z)$sigue trayectorias parabólicas exactamente del mismo tipo que en$(y,z)$. La transformación convierte el problema en uno con terreno nivelado. Esto deja en claro que la relación entre el tiempo pico (máximo$Z$) y hora de aterrizaje ($Z = 0$) es el mismo que en el caso de terreno llano.